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Fascicule de devoirs 1ère année pour BTS Conception de produits industriels Ann

Fascicule de devoirs 1ère année pour BTS Conception de produits industriels Année 2007 – 2008 : Une moitié de l’année scolaire… tscpi1 Devoir n°1 I. Soit (E) l’équation différentielle x y’–3 y = 0 où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]0, + [. 1) Résoudre sur ]0, +[ l’équation différentielle (E). 2) Trouver la solution particulière f de (E) telle que f(1) = 3. II. On se propose de trouver sur ]0, +[ la solution f de l’équation différentielle linéaire (E) : xy’ + (x–2)y =0 où y est une fonction numérique de la variable réelle x,définie et dérivable sur ]0, +[ telle que f(1) = 1 . 1) On écrit pour 0<x, h(x)= 1– x 2 . Trouver sur ]0, +[ une primitive de h. 2) Résoudre sur ]0, +[ l’équation différentielle (E). 3) Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) prenant la valeur 1 pour x=1. III. Soit (E) l’équation différentielle y’+ y = 2 1 e-x où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ. 1) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E0) : y’+ y =0. 2) Dériver les deux fonctions x↦ 2 x et x ↦ e–x. 3) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= x e x  2 . Vérifier si h est une solution de (E). Extraits de formulaire : Dérivées et primitives f(t) f’(t) f(t) f’(t) tα (αℝ) ln t ℝ α.tα–1 1/t e αt (α ℂ) ℂ α. e αt Tscpi1 Corrigé du devoir n°1 I 1) On écrit pour 0<x, r(x)= x 3  = -3( x 1 ) et R(x)= -3 ln x : R’(x)= r(x). Sur ]0, + ∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ Ce3lnx = Cx3 où C est une constante réelle. 2) Pour f solution de (E) sur ]0, +∞[ on écrit pour 0<x, f(x)= Cx3 où C est une constante réelle. Alors f(1)= C(1)3=C et f(1)=3 pour C=3. Finalement la fonction f cherchée est définie par f(x)= 3x3 pour 0< x. II.1) On écrit pour 0 < x, H(x)= x – 2 ln x et ainsi : H’(x)= 1– 2 ( x 1 ) = 1– x 2 . On a bien : Pour 0<x, H’(x)=h(x) . 2) On écrit pour 0<x, r(x)= ) ( 2 1 2 2 x h x x x x x x       R(x) = H(x)= x– 2 ln x ; R’(x)=h(x)= r(x). e-R(x) = e-x+2ln x=e-x e2lnx = e-x x2 Sur ]0, +∞[, les solutions de (E) sont toutes les fonctions x ↦ C e-x x2 où C est une constante réelle. III. 1) On écrit r(x)= 1/1 =1 et R(x)=x : R’(x)=r(x). Les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ Ce-x où C est une constante réelle. 2) On doit remarquer que x x 2 1 2  et que –x= (-1)x pour dire que: La fonction x ↦ x/2 a pour fonction dérivée x ↦ 1/2 La fonction x ↦ -x a pour fonction dérivée x ↦ -1 et que la fonction x ↦ e-x a pour fonction dérivée x ↦ (-1)e-x. 3) À partir de l’égalité h(x)= x e x   2 , on obtient : h’(x)=(1/2)e-x + (x/2)[-e-x]= x x e x e  2 2 1 , soit : h’(x)= x e 2 1 –h(x) . Finalement h’(x)+ h(x) = x e 2 1 pour tout réel x. On a bien prouvé que h est une solution de (E) sur ℝ. . Tscp 1 Devoir n°2 I Soit (E) l’équation différentielle y’+4 y = 5 1 e–4x où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ. 1) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E0) : y’+4 y =0. 2) Dériver les 2 fonctions u et v définies par u(x)= x x ) 5 1 ( 5  et v(x) = e –4x. 3) Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x)= 5 x e–4x. Vérifier si h est une solution de (E). 4) Résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E) : y’+4 y = 5 1 e–4x. 5) Trouver la solution f de (E) telle que f(0)= 2. II On se donne l’équation différentielle (E) : (3t +2) dt dx + 3x = 3 + 3 ln(3t+2) où x est une fonction numérique de la variable réelle t, dt dx sa fonction dérivée, avec 0≤ t. 1°) On écrit pour 0≤ t, t)=ln(3t+2) ; dériver Vérifier si  est une solution particulière de (E). 2°) Résoudre sur [0 ; +[ l’équation différentielle (E0) : (3t +2) dt dx + 3x =0. 3°) Trouver la solution générale de (E) sur [0 ;+[. 4°) Trouver la solution particulière f de (E) telle que : f(0)= 0. Extraits de formulaire Dérivées et primitives f(t) f’(t) f(t) f’(t) tα (αℝ) ln t ℝ α.tα–1 1/t e αt (α ℂ) ℂ α. e αt Opérations u u u ' ' ) (ln  ; u u e u e ' )' (  La notation porte sur la clarté, la précision et la qualité dans la rédaction. Tscp1 Corrigé du devoir n°2 I. 1) On écrit r(x)= 4/1 = 4 et R(x)=4 x : R’(x)=r(x). Les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ Ce-4x où C est une constante réelle. 2) Avec u(x)= x x ) 5 1 ( 5  et v(x) = e –4x, on a u’(x)= 5 1 et v’(x) = -4 e –4x 3) À partir de l’égalité h(x)=u(x)×v(x), on obtient h’(x)= u’(x)v(x) + u(x)v’(x). À partir de l’égalité h(x)= 5 x ×e –4x on obtient : h’(x)=(1/5)e–4 x + (x/5)[-4e-4 x] soit h’(x)= x x e x e 4 4 5 4 5 1    , soit : h’(x)= x e 4 5 1  –4h(x) . Finalement h’(x)+4 h(x) = x e 4 5 1  pour tout réel x. On a bien prouvé que h est une solution de (E) sur ℝ. 4) (E0) étant l’équation homogène associée à (E), à la solution particulière h de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les solutions de (E). Il s’agit de toutes les fonctions x ↦ 5 x e–4x + Ce-4x où C est une constante réelle. 5) Pour f solution de (E), on écrit f(x)= 5 x e–4x + Ce-4x où C est une constante réelle. f(0) = 0×e0 + C×e0 = C×1 = C ; f(0) = 2 pour C= 2. Finalement f(x)= 5 x e–4x + 2 e-4x . II On remarque que pour 0 ≤ t, 0 ≤ 3t et 0 < 2 ≤ 3t+2 ; d’autre part [3t+2]’= 3 1°) Pour 0≤ t , t)=ln(3t+2) et ’(t)= 2 3 3  t ainsi (3t +2)’(t) = 3 d’où (3t +2)’(t) + 3(t) = 3 + 3 ln(3t+2) . Cela prouve que sur [0 ; +[ est solution de l’équation (E) : (3t +2)x’ + 3x = 3 + 3ln(3t+2) 2°) On écrit pour 0≤ t, r(t)= 2 3 3  t et R(t)=ln(3t+2) : R’(t)=r(t) et e–R(t) = e–ln(3t+2) soit e–R(t) = ) 2 3 1 ln(  t e = 2 3 1  t . Ainsi sur [0 ; +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctions t ↦ 2 3 2 3 1     t C t C où C est une constante réelle. 3°) (E0) étant l’équation homogène associée à (E), à la solution particulière  de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les solutions de (E). Il s’agit de toutes les fonctions, définies sur [0 ; +[, t ↦ ln(3t+2) + 2 3  t C où C est une constante réelle. 4°) Pour f solution de (E), on écrit pour 0≤ t, f(t)= ln(3t+2) + 2 3  t C où C est une constante réelle ; f(0)= ln 2 + 2 C et ainsi : 0=f(0)  2 C = –ln(2)  C= –2 ln 2 Finalement pour 0≤ t, f(t) = ln(3t+2) – 2 3 2 ln 2  t . Nom : Tscp1 Devoir surveillé n° 3 I. On considère l’équation différentielle (E) : dt dx + 4x= 3 + 2t où x est une fonction numérique de la variable réelle t, dt dx est sa fonction dérivée. 1°) Résoudre sur [0, +[, l’équation différentielle (E0) : dt dx + 4x= 0 . 2°) On écrit pour 0 t, x0(t)=t/2+5/8. Prouver que x0 est une solution de (E). 3°) Résoudre l’équation différentielle (E) sur [0, +[. 4°) Déterminer la solution particulière xA de (E) vérifiant xA(0)=1. II. On considère maintenant la fonction f définie par f(t)= t/2 + 5/8 + (3/8).e–4t pour 0 t. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal R=(O, j i   , ) 1°) Calculer f’(t) ; étudier clairement le signe de f’(t) suivant les uploads/Industriel/ ts-cpi1-2007-2008-devoirs-surveilles.pdf