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Ministère Des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat Blanc Délégation

Ministère Des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat Blanc Délégation Régionale du Centre Session : Mai 2010 Série : C Délégation départementale de la Mefou & Afamba Épreuve : Mathématiques Lycée Bilingue & Lycée Classique de Mfou Durée : 4heures Coefficient : 5 L’épreuve comporte trois exercices et un problème. Les pages sont numérotées de 1 à 2. La qualité de la rédaction et le soin apporté au tracé des figures seront pris en compte dans l’évaluation de la copie du candidat. Exercice 1 : 2points 1. On appelle nombre parfait tout entier naturel égal à la somme de ses diviseurs stricts (distinct de lui-même). a) Le nombre 28 est-il parfait ? 0,25pt b) Déterminer un nombre premier p tel que 2 4 p soit un nombre parfait. 0,5pt c) Soient n et p deux entiers naturels, tel que p soit premier . Quelle doit être l’expression de p en fonction de n pour que 2 n p soit parfait. 1pt 2. On lance huit fois de suite un dé pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on désigne par X la variable aléatoire, qui associe à ces fuit lancers le nombre de multiples de 3 obtenus. a) Déterminer la loi de probabilité de X. 1pt b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X. 0,75pt Exercice 2 : 2,5points On considère dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (O ; ⃗ i, ⃗ j) où l’unité de longueur est 6cm, les points M θ de coordonnées (x , y ) définies par : x= cosθ 2+cosθ ; y= sinθ 2+cosθ avec θ élément de [0,2π ]. 1. Calculer en fonction de θ la distance OM θet la distance de M θà la droite (D) d’équation x=1 . 1pt 2. Déduire que, pour tout réel θ élément de [0,2π ], les points M θ appartiennent à une même ellipse (E) dont on précisera l’excentricité, le grand axe ainsi que les coordonnées des quatre sommets et des points d’intersection avec l’axe des ordonnées. 1pt 3. Tracer l’ellipse (E). 0,5pt Exercice 3 : 4,75points 1. Soit A (0,1,−1) et ⃗ n (1,1,1)un vecteur de l’espace. a) Déterminer l’équation du plan (P ) contenant le point A et de vecteur normal ⃗ n. 0,5pt b) Donner l’expression analytique de la réflexion s de base (P). 1pt 2. Dans le plan orienté , on considère un carré ABCD de centre O. On suppose que le carré est de sens direct, c’est –à-dire que (⃗ AB,⃗ AD )=π 2 . On désigne par r le quart de tour de centre A, t la translation de vecteur ⃗ AB, h l’homothétie de centre C de rapport √3. a) Prouver que r '=r ∘t est une rotation, dont on précisera l’angle. 0,5pt b) Déterminer les images de A et B par r '. Déduire le centre de r '. 0,75pt 3. On pose f =r ' ∘h a) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera l’angle et le rapport. 0,5pt b) Soit I le centre de f . Déterminer l’image de C par f. Prouver que (⃗ IC ,⃗ ID )= π 2 et que ID=√3 IC. 1,25pt Problème : 11,75points Les parties A, B et C sont indépendantes. Partie A : 2,5points (E0) l’équation différentielle y+2y'+y=0} {¿ .Déterminer toutes les solutions de (E0) 0,5pt 1. (E) est l’équation différentielle y+2y'+y=2e rSup { size 8{ - x} } } {¿ a) vérifier que la fonction définie h sur R par h(x)=x 2 e −x est une solution particulière de (E) 0,5pt b)Montrer que ϕ est une solution de (E) si et seulement si g=ϕ−h est solution de (E0) . 0,5pt c)Déterminer toutes les solutions de (E) 0,5pt Déterminer la solution f 0 de (E) satisfaisant aux conditions initiales f 0(0)=4 et f '0(0)=0 0,5pt Partie B : 4,75points On considère la fonction f de la variable réelle x définie sur R par : f (x )=(x+1)e −x 2 . On se propose de résoudre l’équation (1) : f (x )=x . 1.a) Calculer f ' (x ), puis établir le tableau de variations de f sur ¿0,+∞¿ 1pt b) Démontrer que pour réel x positif |f '(x)|≤1 2 . 0,5pt 2. On considère la fonction g (x )=f (x )−x . a) Montrer que l’équation g' (x )=0 admet une unique solution α tel que : −0,6<α←0,5. 0,5pt b) Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution β tel que 1<β<2. 0,5pt 3) Soit (U n) la suite définie par : U 0=0 et U n+1=f (Un) (n∈N ) a) Démontrer que pour tout entier naturel U n≥0. 0,5pt b) Démontrer que pour tout entier naturel n:|U n+1−β|≤1 2|U n−β|. 0,5pt c) Démontrer que pour tout entier naturel n : |U n−β|≤( 1 2) n . 0,5pt d) En déduire la limite de la suite (U n). 0,25pt e) Donner une valeur approchée de la limite de la suite (U n) à 10 −6 près. 0,5pt Partie C : 4,5points On définie la suite (I n) de terme général I n=∫ 0 1 (1−x n)√1−x 2dx. On pose J0=∫ 0 1 √1−x 2dx et pour tout entier naturel non nul n,Jn=∫ 0 1 x n√1−x 2dx. On suppose que J0= π 4 1.a) Calculer J1. 0,75pt b) Déduire la valeur de I 1et donner une interprétation géométrique de ce résultat. 0,5pt 2. a) Etudier le sens de variations de la suite (Jn)n∈N ¿. 0,5pt b) Déduire que les suites (Jn)n∈N ¿ et (I n)n∈N ¿ convergent. 3. a)Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul, on a 0≤J n≤∫ 0 1 x ndx. 0,75pt b) Déduire les limites des suites (Jn)et (I n). 1pt 4. a) Démontrer que la fonction v définie sur [0,1] par V (x )=−1 3 (1−x 2)√1−x 2 est une primitive de la fonction v (x )=x √1−x 2 sur [0, 1]. 0,5pt b) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 on : (n+2)J n=(n−1)J n−2 . 0,5pt uploads/Ingenierie_Lourd/ bacblna-c2010.pdf