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A. P. M. E. P. [ Baccalauréat S Asie 16 juin 2015 \ Exercice 1 5 points Commun

A. P. M. E. P. [ Baccalauréat S Asie 16 juin 2015 \ Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième. Partie A Un concurrent participe à un concours de tir à l’arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu’il atteigne la cible est égale à 0,8. 1. Le concurrent tire quatre ﬂèches. On considère que les tirs sont indépendants. Déterminer la proba- bilité qu’il atteigne au moins trois fois la cible. 2. Combien de ﬂèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois? Partie B Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d’entraînement, représentée ci-contre. Pour cela, il tire des ﬂèches pour essayer d’atteindre une bande verticale, de lar- geur 20 cm (en grisé sur la ﬁgure), le plus près possible de la ligne verticale centrale. On munit le plan contenant la bande verticale d’un repère : la ligne centrale visée est l’axe des ordonnées. On note X la variable aléatoire qui, à toute ﬂèche tirée at- teignant ce plan, associe l’abscisse de son point d’impact. 5 10 15 −5 −10 −15 −5 −10 −15 5 10 15 0 5 10 15 20 0 5 10 15 b b b C B A Ainsi, par exemple : — si la ﬂèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et X prend la valeur 15; — si elle atteint le point B, l’impact est à la limite de la bande, et X prend la valeur 10; — si elle atteint le point C, l’impact est dans la bande et X prend la valeur −5. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 10. 1. Lorsque la ﬂèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d’impact soit situé hors de la bande grisée. 2. Comment modiﬁer les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la ﬂèche atteint le plan, son point d’impact soit situé à l’intérieur de la bande avec une probabilité égale à 0,6? Partie C La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique afﬁchant le score des concurrents est une va- riable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 10−4 (exprimé en h−1). 1. Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant 2 000 heures? 2. Restitution organisée des connaissances Dans cette question, λ désigne un réel strictement positif. On rappelle que l’espérance mathématique de la variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ, est déﬁnie par : E(T ) = lim x→+∞ Zx 0 λte−λt dt. Baccalauréat S A. P. M. E. P. a. On considère la fonction F, déﬁnie pour tout réel t par : F(t) = µ −t −1 λ ¶ e−λt. Démontrer que la fonction F est une primitive sur R de la fonction f déﬁnie pour tout réel t par : f (t) = λte−λt. b. En déduire que l’espérance mathématique de la variable aléatoire T est égale à 1 λ. Quelle est l’espérance de durée de vie du panneau électrique afﬁchant le score des concurrents? Exercice 2 4 points Commun à tous les candidats Pour chacune des quatre afﬁrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justiﬁer la réponse. Une réponse non justiﬁée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. Dans les questions 1 et 2, on munit l’espace d’un repère orthonormé, et on considère les plans P1 et P2 d’équations respectivesx + y + z −5 = 0 et 7x −2y + z −2 = 0. 1. Afﬁrmation 1 : les plans P1 et P2 sont perpendiculaires. 2. Afﬁrmation 2 : les plans P1 et P2 se coupent suivant la droite de représentation paramétrique :    x = t y = 2t +1, z = −3t +4 t ∈R. 3. Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille 312 dans l’ensemble des parties. On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties qu’il jouera, tout en conservant la même stratégie. Afﬁrmation 3 : au niveau de conﬁance de 95 %, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l’intervalle [0,658; 0,771]. 4. On considère l’algorithme suivant : a, b sont deux nombres réels tels que a < b VARIABLES x est un nombre réel f est une fonction déﬁnie sur l’intervalle [a ; b] Lire a et b Tant que b −a > 0,3 x prend la valeur a +b 2 TRAITEMENT Si f (x)f (a) > 0, alors a prend la valeur x sinon b prend la valeur x Fin Si Fin Tant que Afﬁcher a +b 2 Afﬁrmation 4 : si l’on entre a = 1, b = 2 et f (x) = x2 −3, alors l’algorithme afﬁche en sortie le nombre 1,687 5. Exercice 3 6 points Commun à tous les candidats Asie 2 16 juin 2015 Baccalauréat S A. P. M. E. P. Pour tout entier naturel n, on déﬁnit la fonction fn pour tout réel x de l’intervalle [0; 1] par : fn(x) = x +en(x−1). On note Cn la représentation graphique de la fonction fn dans un repère orthogonal. Quelques-unes des courbes Cn sont représen- tées ci-contre. Partie A : généralités sur les fonctions fn 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la fonction fn est croissante et positive sur l’intervalle [0; 1]. 2. Montrer que les courbes Cn ont toutes un point commun A, et préciser ses co- ordonnées. 3. À l’aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefﬁcients directeurs des tangentes en A aux courbes Cn pour les grandes va- leurs de n ? Démontrer cette conjecture. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 C0 C1 C2 C3 C10 C50 C100 Partie B : évolution de fn(x) lorsque x est ﬁxé Soit x un réel ﬁxé de l’intervalle [0; 1] . Pour tout entier naturel n, on pose un = fn(x). 1. Dans cette question, on suppose que x = 1. Étudier la limite éventuelle de la suite (un). 2. Dans cette question, on suppose que 0 ⩽x < 1. Étudier la limite éventuelle de la suite (un). Partie C : aire sous les courbes Cn Pour tout entier naturel n, on note An l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe Cn et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1. À partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite (An) lorsque l’entier n tend vers +∞, puis démontrer cette conjecture. Exercice 4 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Le plan est muni du repère orthonormé direct ³ O ; − → u , − → v ´ . On donne le nombre complexe j = −1 2 +i p 3 2 . Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. Partie A : propriétés du nombre j Asie 3 16 juin 2015 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. a. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z2 + z +1 = 0. b. Vériﬁer que le nombre complexe j est une solution de cette équation. 2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. 3. Démontrer les égalités suivantes : a. j3 = 1; b. j2 = −1−j. 4. On note P , Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j2 dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR? Justiﬁer la réponse. Partie B Soit a, b, c trois nombres complexes vériﬁant l’égalité a +jb +j2c = 0. On note A, B, C les images respectives des nombres a, b, c dans le plan. 1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l’égalité : a −c = j(c −b). 2. En déduire que AC = BC . 3. Démontrer l’égalité : a −b = j2(b −c). 4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral. Exercice 4 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité On dit qu’un entier naturel non nul N est un nombre triangulaire s’il existe un entier naturel n tel que : N = 1+2+... +n. Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car 10 = 1+2+3+4. Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d’un entier. On rappelle que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 1+2+... +n = n(n +1) 2 . uploads/Ingenierie_Lourd/ asie-s-16-juin-2015.pdf