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Durée : 1 heure 30 [ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ mai 2011 Nous vous

Durée : 1 heure 30 [ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ mai 2011 Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candi- dats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit. Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes. EXERCICE I On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ³ O, − → u , − → v ´ , di- rect. Soient les points A et B d’afﬁxes respectives : zA = 1,zB = 3−2i. Pour tout complexe z, on pose : z′ = iz +1−i. On considère la fonction F qui, à tout point M d’afﬁxe z, associe le point M′ d’afﬁxe z′. 1. Placer A et B sur une ﬁgure que l’on complètera au fur et à mesure de l’exer- cice. 2. Dans cette question, on considère un point M, différent de A, donc d’afﬁxe z ̸= 1. a. Déterminer le complexe Z = z′ −1 z −1 . b. Déterminer le module |Z | et un argument arg(Z ) de Z . c. Exprimer AM′ en fonction de AM. Déterminer l’angle ³− − → AM , − − − → AM′ ´ . d. En déduire la nature de la fonction F. On précisera tous ses éléments caractéristiques. 3. Déterminer les afﬁxes zA′ et zB′ des images A′ et B′ par F des points A et B. 4. Soit C le point dont l’image par la fonction F est le point C′ d’afﬁxe ZC′ = −3−3i. Déterminer l’afﬁxe zC du point C. Justiﬁer le calcul. Dessiner les triangles ABC′ et ACB′ sur la ﬁgure du 1. 5. On désigne par I le milieu du segment [BC′]. a. Déterminer l’afﬁxe zI, du point I. Dans le triangle ABC′, tracer la médiane (D) issue de A. b. Déterminer les afﬁxes des vecteurs − → AI et − − → CB′ . c. Déterminer la position relative des droites (AI) et (CB′). On justiﬁera la réponse. d. Que représente la droite (D) pour le triangle ACB′ ? 6. On note (D′) l’image de la droite (AI) par la fonction F. Déterminer (D′) et tracer (D′) sur la ﬁgure. Concours GEIPI–POLYTECH EXERCICE 2 On considère la fonction f déﬁnie, pour tout réel x, par : f (x) = e2x −4ex +3. Soit C la courbe représentant f dans un repère orthonormé ³ O, − → ı , − →  ´ . 1. a. Déterminer lim x→+∞f (x). Justiﬁer la réponse. b. Déterminer lim x→−∞f (x). Justiﬁer la réponse. c. On en déduit que C admet, au voisinage de −∞, une asymptote ∆dont on donnera une équation. 2. a. f ′ désigne la dérivée de f . Déterminer f ′(x). b. Pour tout réel x, f ′(x) s’écrit sous la forme : f ′(x) = g(x)(ex −2). Donner l’expression de g(x). c. Dresser le tableau de variation de la fonction f . d. f présente un minimum au point M ¡ xM ; yM ¢ . Déterminer les coordon- nées ¡ xM ; yM ¢ de M. Détailler le calcul de yM. 3. Une des deux courbes C1l et C2 dessinées sur la ﬁgure ci-dessous représente la fonction f . Laquelle ? Justiﬁer votre réponse. O − → ı − →  C1 4. Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe C au point d’abscisse 0. Tracer T0 sur la ﬁgure du 3. 5. La courbe C coupe l’asymptote ∆en un point E. Déterminer les coordonnées ¡ xE ; yE ¢ du point E. Détailler les calculs. 6. a. Soit J l’intégrale déﬁnie par : J = Zln4 0 (3−f (x))dx. Calculer la valeur de J en justiﬁant le calcul. b. Sur la ﬁgure du 3. placer le point E et hachurer la partie du plan dont l’aire, exprimée en unités d’aire, vaut J. EXERCICE 3 Un fabricant de jouets vend un modèle de poupée qui « parle et marche » grâce à un mécanisme électronique. On appelle « durée de vie » d’une poupée, le temps pendant lequel le mécanisme fonctionne correctement avant la première défaillance. La variable aléatoire T , représentant la durée de vie exprimée en années d’une pou- pée prise au hasard dans la production, suit une loi exponentielle de paramètre 1. Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 2 5 mai 2010 Concours GEIPI–POLYTECH La probabilité P(T ⩽t) que la durée de vie de la poupée soit inférieure à t années est alors donnée par : P(T ⩽t) = 1−e−1 3 t. Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte puis une valeur approchée à 10−4 près. 1. a. Déterminer la probabilité p qu’une poupée ne fonctionne plus au bout d’une année. b. Exprimer, en fonction de t, la probabilité P(T > t) qu’une poupée n’ait aucune défaillance pendant t années. 2. J’ai acheté une poupée. On note A l’évènement : « la poupée n’a aucune dé- faillance pendant une année » et B l’évènement : « la poupée n’a aucune dé- faillance pendant trois ans ». a. Déterminer les probabilités P(A) et P(B) des évènements A et B. b. Sachant que la poupée fonctionne parfaitement au bout d’un an, quelle est la probabilité PA(B) que la poupée fonctionne encore au bout de trois ans ? Justiﬁer le calcul. 3. Le fabricant garantit les poupées pendant un an et s’engage à rembourser les poupées défectueuses. a. Donner une valeur approchée à 10−2 près du pourcentage de poupées remboursées. b. Quelle durée de garantie maximale ta devrait proposer le fabricant pour qu’il ne rembourse pas plus de 8 % des poupées vendues ? Calculer la valeur exacte, exprimée en années, de t0. Justiﬁer le résultat. Donner une valeur approchée, exprimée en mois, de t0. 4. Un commerçant achète un lot de trois poupées et le fabricant offre, pour chaque poupée, une garantie d’une année. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de poupées remboursées sur ce lot. a. Exprimer, en fonction de p déﬁni en 1. a., la probabilité P(X = 3) que les trois poupées ne fonctionnent plus au bout d’un an. b. Exprimer, en fonction de p, la probabilité P(X = 3) qu’une seule des trois poupées ne fonctionne plus au bout d’un an. c. Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de X . Les probabilités seront exprimées en fonction de p. d. Déterminer, en fonction de p, l’espérance mathématique E(X ) de la va- riable X . EXERCICE 3 Dans l’espace rapporté au repère ³ O, − → ı , − → , − → k ´ , orthonormé, on considère les points A, B et C, de coordonnées : A(1 ; 0 ; −1),B(0 ; 2 ; −2) et C(2 ; 2 ; 2). 1. a. Soit le vecteur − → n1 (4 ; 1 ; −2). Calculer : − → n1 ·− − → AB et − → n1 ·− − → AC . Que peut-on dire de − → n par rapport au plan (ABC) ? b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 2. Soit le plan P d’équation cartésienne : x −2y + z = 0. a. Donner les coordonnées d’un vecteur − → n2 normal au plan P . Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 3 5 mai 2010 Concours GEIPI–POLYTECH b. Justiﬁer que les plans P et (ABC) sont perpendiculaires. c. Parmi les points A, B et C, préciser ceux qui appartiennent à P . d. On note D1 la droite intersection des deux plans P et (ABC). Quelle est cette droite D1 ? Donner les coordonnées d’un vecteur directeur − → U de la droite D1. 3. Soit la droite D2 déﬁnie par le système d’équations paramétriques suivant : D2    x = 1+α y = α z = 0−α On note N le point d’intersection de la droite D2 et du plan P . Déterminer les coordonnées ¡ xN ; yN ; zN ¢ de N. Justiﬁer le calcul. 4. Montrer que le point K(3 ; 2 ; 0) appartient à la droite D2. 5. a. Soit le point L µ10 3 ; 4 3 ; 1 3 ¶ . Montrer que le vecteur − → KL est normal au plan P . b. Montrer que les points K et L sont symétriques par rapport au plan P . c. On désigne par H le projeté orthogonal du point K sur le plan P . Détermi- ner les coordonnées ¡ xH ; yH ; zH ¢ de H. 6. Justiﬁer que les droites D1 et D2 sont orthogonales. Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 4 5 mai 2010 uploads/Ingenierie_Lourd/ eni-concours-2011.pdf