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Capes de mathématique 2022 épreuve 1 Capes de mathématique 2022 épreuve 1. Lien

Capes de mathématique 2022 épreuve 1 Capes de mathématique 2022 épreuve 1. Lien vers le corrigé seul : pdf. Lien vers le sujet seul : pdf. Durée : 5 heures. L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021. L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit. Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. Problème no 1 : vrai-faux. Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justi er la réponse donnée. I Ensembles de nombres. 1. Tout entier relatif non nul possède un inverse dans Z pour la multiplication. L'assertion est fausse. Il s'agit de démontrer qu'une propriété universelle est fausse : il su t d'ex- hiber un contre-exemple. L'inverse de 2, 1 2, n'est pas un entier (fraction irréductible). 2. La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal. L'assertion est vraie. Il faut ici démontrer que la propriété universelle est vraie. Donc dans tous les cas. Soient x et y deux nombres décimaux. Il existe donc (a,b) ∈Z2 et (n,m) ∈N2 tels que x = a 10n et y = b 10m . Donc -1- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 x + y = a 10n + b 10m = a × 10m + b × 10n 10n × 10m = a × 10m + b × 10n 10n+m Comme a × 10m + b × 10n ∈Z et n + m ∈N, x + y est bien décimal. 3. 1 3 est un nombre décimal. L'assertion est fausse. Démontrons que 1 3 n'est pas décimal en raisonnant par l'absurde. Supposons que 1 3 est décimal. Autrement dit : ∃(a,n) ∈Z × N, 1 3 = a 10n . Nous en déduisons (produit en croix) : 10n = 3a Or les diviseurs premiers de 10 sont 2 et 5 donc 10n n'est pas divisible par 3 ce qui est contradictoire avec la précédente égalité. Nous avons démontré par l'absurde que 1 3 n'est pas décimal. 4. √ 5 est un nombre irrationnel. L'assertion est vraie. Démontrons en raisonnant par l'absurde que √ 5 est irrationnel. Supposons que √ 5 ∈Q. Autrement dit il existe a et b des entiers naturels premiers entre eux tels que : √ 5 = a b . -2- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 Nous en déduisons : 5b2 = a2. Donc 5∣a2 et en n 5∣a. Ainsi : ∃a′ ∈N, a = 5a′. Donc : 5b2 = 52a′2 b2 = 5a′2 Puis 5∣b2 et donc 5∣b. Chemin faisant nous avons établi que a et b sont divisibles par 5. Ceci contredit le fait que a et b aient été choisis premiers entre eux. Nous avons démontré par l'absurde que √ 5 est irrationnel. 5. Pour tout n dans N, √n est un nombre irrationnel. L'assertion est fausse. En eet : √ 0 = 0 / ∈R \ Q. 6. La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel. L'assertion est fausse. En eet : √ 2 et − √ 2 sont irrationnels et pourtant √ 2 + (− √ 2) = 0 ∈Q. 7. La somme d'un rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irration- nel. L'assertion est vraie. Soient x ∈Q et y ∈R \ Q. Démontrons que x + y est irrationnel en raisonnant par l'absurde. Supposons que x + y ∈Q. x ∈Q donc : ∃(a,b) ∈Z × N∗, x = a b . -3- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 x + y ∈Q donc : ∃(c,d) ∈Z × N∗, x + y = c d. Ainsi a b + y = c d y = c d −a b y = cb −ad bd Puisque cb −ad ∈Z et bd ∈N∗, cb−ad bd ∈Q. Autrement dit y ∈Q. Ceci contredit le fait que y est irrationnel. Nous avons démontré en raisonnant par l'absurde que x + y est irrationnel. II Géométrie dans le plan. 8. Dans un plan muni d'un repère cartésien, 2x = 3 est l'équation d'une droite. L'assertion est vraie. Le niveau des questions étant élémentaire j'ai du mal à voir une justi cation élémentaire convenant. Il s'agit d'une droite perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par les points d'abscisses 3 2. 9. Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(1,1), B(−1,2), C(1, −1), D(4,5). Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. L'assertion est vraie. (AB) ∥(CD) si et seulement si le produit scalaire (euclidien usuel dans un repère orthonormé du plan) de leurs vecteurs directeurs − − → AB et − − → CD est nul. Or d'une part − − → AB (xB −xA yB −yA), − − → AB (−1 −1 2 −1 ), − − → AB (−2 1 ) et d'autre part − − → CD (3 6) donc -4- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 − − → AB ⋅− − → CD = −2 × 3 + 1× = 0 Donc (AB) ∥(CD). 10. Dans un plan euclidien, on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 4. Soit le point D tel que − − → AD = 1 2 − − → AC + − − → AB. Alors − − → AD ⋅− − → AC = 20. L'assertion est − − → AD ⋅− − → AC = (1 2 − − → AC + − − → AB) − − → AC = 1 2 − − → AC ⋅− − → AC + − − → AB ⋅− − → AC Si les produit scalaire et normes sont ceux usuels dans le plan : − − → AD ⋅− − → AC = 1 2∥− − → AC∥2 + 0 = 1 2 × 42 − − → AD ⋅− − → AC = 8. III Géométrie dans l'espace. On se place dans l'espace, muni d'un repère cartésien. 11. Si deux droites D et D′ sont parallèles à un même plan P, alors D est parallèle à D′. L'assertion est fausse. Exhibons un contre-exemple. -5- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 Soient (⃗ i,⃗ j) une base du plan vectoriel directeur de P et A ∈P. Notons D la droite passant par A et de vecteur directeur ⃗ i, D′ celle passant par A et de vecteur directeur ⃗ j. Par construction D ⊂P et D′ ⊂P donc en particulier D et D′ sont parallèles à P. Par contre (⃗ i,⃗ j) est libre puisque c'est une base. Autrement dit ⃗ i et ⃗ j ne sont pas colinéaires. Et par conséquent D et D′ sont sécantes et non pas parallèles. 12. 2x + 3y = 3 est l'équation d'une droite. L'assertion est fausse. A(0,1,1), B(0,1,2) et C ( 3 2,0,2) appartiennent à l'ensemble des points dont les coordonnées sont solutions de l'équation proposée. Or − − → AB ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ et − − → BC ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 −1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ne sont clairement pas colinéaires par exemple » » » » » » » » 0 3 2 0 −1 » » » » » » » » = 0 donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 13. La droite ∆dé nie par le système d'équations { x + 2y + z = 2 x + y −z = 0 . (a) passe par le point A de coordonnées (1,0,1), Assertion vraie. D'une part : 1 + 2 × 0 + 1 = 2 et d'autre part : 1 + 0 −1 = 0 donc A ∈∆. (b) a comme vecteur directeur le vecteur ⃗ u de coordonnées ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . L'assertion est fausse. Démontrons en raisonnant par l'absurde que ⃗ u n'est pas un vecteur directeur de ∆. Supposons que ⃗ u est un vecteur directeur de ∆. -6- Capes de mathématique 2022 épreuve 1 Remarquons que ∆est l'intersection des plans P1 ∶x + 2y + z = 2 et P2 ∶x + y −z = 0. Notons ⃗ v ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ x y z ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . ⃗ u ⋅⃗ v = 2 est l'équation du plan P1. Donc ⃗ u est orthogonal à P1. Donc ∆ est orthogonale à P1 ce qui contredit le fait que ∆⊂P1. (c) est contenue dans le plan P d'équation 3x + 4y −z = 2. L'assertion est vraie. Soit M(x,y,z) ∈∆. On a donc : { x + 2y + z = 2 L1 x + y −z = 0 L2 En faisant L1 + 2L2 on obtient 3x + 4y −z = 2. Autrement dit si M ∈∆alors M ∈P. ∆⊂P. IV Matrices. 14. Les matrices (1 1 1 1) et (1 2 1 2) ont le même rang. L'assertion est uploads/Ingenierie_Lourd/ capes-externe-2022-epreuve-1.pdf