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[ Baccalauréat S Centres étrangers I juin 1997 \ EXERCICE 1 4 points Commun à t

[ Baccalauréat S Centres étrangers I juin 1997 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n est un entier supérieur ou égal à 1). U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2, puis on tire au hasard une boule de U2 et on la met dans U1; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1. On considère l’évènement A : « après l’épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur conﬁguration de départ ». a. Montrer que la probabilité p(A) de l’évènement A peut s’écrire : p(A) = 3 4 µn +2 n +3 ¶ . b. Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers +∞. 2. On considère l’évènement B : « après l’épreuve, l’urne U2 contient une seule boule blanche ». Vériﬁer que la probabilité p(B) de l’évènement B peut s’écrire p(B) = 6 4(n +3). 3. Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve. À l’issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans U2. — Si U2 contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2n francs; — Si U2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit n francs; — Si U2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. a. Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que n ne dépasse pas 10.? Dans la suite, on considère n > 10 et on introduit la variable aléatoire X qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l’épreuve, l’urne U2 contient une seule boule blanche, X = 2n −20). b. Déterminer la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . d. On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l’espérance mathématique est strictement positive. Montrer qu’il en est ainsi dès que l’urne U1 contient au moins 25 boules blanches. EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct ³ Ov − → u , − → v ´ , l’unité graphique est 1 cm. On considère les points A, B et C d’afﬁxes respectives : zA = ³ 3 p 3−2 ´ +i ³ 3+2 p 3 ´ ; zB = ³ − p 3−1 ´ +i ³p 3−1 ´ ; zC = ³ 1−4 p 3 ´ +i ³ −4− p 3 ´ . 1. On se propose de placer les points A, B et C dans le repère ³ Ov − → u , − → v ´ à l’aide du compas. Pour cela on considère la rotation R de centre O et d’angle de mesure −2π 3 . Baccalauréat S A. P. M. E. P. a. Donner l’écriture complexe de R. b. Vériﬁer que R transforme le point A en le point A′ d’afﬁxe : 4−6i. On admettra que R transforme les points B et C en les points B′ et C′ d’afﬁxes respectives 2+2i et ?2+8i. c. Placer les points A′, B′, C′ puis, à l’aide du compas, les points A, B, C. (La construction du point A sera justiﬁée). 2. a. Calculer zA −zB + zC. b. En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondérés {(A, 1), (B, −1), (C, 1)}. 3. Soit l’ensemble C des points M du plan tels que : ° ° °− − → MA −− − → MB +− − → MC ° ° ° = ° ° °− − → MA −2− − → MB +− − → MC ° ° °. a. Vériﬁer que B appartient à C. b. Déterminer puis tracer l’ensemble C. 4. Déterminer puis tracer l’ensemble D des points M du plan tels que : 2. ° ° °− − → MA −− − → MB +− − → MC ° ° ° = ° ° °M− → A −3− − → MB ° ° °. EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct ³ Ov − → u , − → v ´ , on donne les points A d’afﬁxe 2i, B d’afﬁxe 2 et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm pour unité graphique). On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d’afﬁxe z, associe le point M′ d’afﬁxe z′ telle que :? z′ = 2z z −2i. 1. a. Montrer que f admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l’afﬁxe. b. Déterminer les images par f des points B et I. 2. Soit M un point quelconque distinct de A et de O. Établir que :    ³− → u ; − − − → OM′ ´ = ³− − → MA ; − − − → MO ´ +k2π, k ∈Z OM′ = 2MO MA 3. Soit (∆) la médiatrice de [OA]. Montrer que les transformés par f des points de (∆) appartiennent à un cercle (C) que l’on précisera. 4. Soit (Γ) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transformés par f des points de (Γ) appartiennent à une droite (D) que l’on précisera. 5. Tracer (∆), (Γ), (C), (D) sur une même ﬁgure. PROBLÈME 11 points Partie A Soit la fonction f déﬁnie pour tout réel x différent de 1 par : Centres étrangers I 2 juin 1997 Baccalauréat S A. P. M. E. P. f (x) = e−x 2(1−x) On appelle Γ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal ³ O ; − → ı , − →  ´ . 1. a. Étudier les limites de f (x) lorsque x tend vers +∞, et lorsque x tend vers 1. Interpréter graphiquement ces résultats. b. Vériﬁer que, pour tout x différent de 1, f (x) peut s’écrire : f (x) = e−x −x × x 2(x −1) En déduire lim x→−∞f (x). 2. a. Montrer que f ′(x) = xe−x 2(1−x)2 . b. Étudier les variations de f . c. Montrer que f admet un minimum que l’on précisera sur l’intervalle ]−∞; 1[. Partie B On considère l’équation différentielle (E) : y′′ +2y′ + y = 0 où y est une fonction numérique deux fois dérivable sur R. 1. Résoudre (E). 2. On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coor- données µ 0 ; 1 2 ¶ . a. Montrer que ces solutions s’écrivent sous la forme : µ ax + 1 2 ¶ e−x. On note alors : ha(x) = µ ax + 1 2 ¶ e−x. où a est un nombre réel. b. Faire l’étude du sens de variation de ha selon les valeurs de a et montrer que, pour tout réel a différent de 0, ha admet un extremum pour une valeur de x que l’on déterminera en fonction de a. c. On note Ca la courbe représentative de ha et Sa le point de Ca correspondant à l’extremum de ha ; vériﬁer que, pour tout réel a différent de 0, Sa est un point de Γ, la courbe déﬁnie dans la partie A. Partie C Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d’un repère orthonormal les courbes Ca pour a = 1 4 et pour quatre autres valeurs de a : −2, 0, 1 et 2. 1. Sur cette feuille annexe, construire Γ et ses droites asymptotes. Centres étrangers I 3 juin 1997 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. Pour chacune des courbes Ca tracées (autres que C 1 4 ), déterminer la valeur correspondante de a en indiquant la méthode utilisée. Partie D Dans cette partie, on considère la fonction ha obtenue pour a = 1 4. Soit λ un nombre réel supérieur à −2; on appelle Dλ l’ensemble des points du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C 1 4 et la droite d’équation x = λ. 1. Exprimer I = Zλ −2 h 1 4 (t)dt en fonction de λ; on pourra utiliser une intégration par parties ou se servir de l’équation différentielle (E). 2. Soit A (λ) la mesure en unités d’aire de l’aire Dλ; quelle est la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞? 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 −5 −1 −2 −3 1 2 3 4 a = 1 4 a = a = a = a = O Centres étrangers I 4 juin 1997 uploads/Ingenierie_Lourd/ centres-etrangers-i-s-juin-1997-dv.pdf