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Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Épreuve commune de Mathématiques Il faut rendre le sujet avec la copie. QCM : (4 points) Dans ce QCM, pour chaque question, une seule proposition est exacte, écrire sur votre copie le numéro de la question et recopier la lettre de la bonne réponse. Aucune justiﬁcation n’est attendue. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne retire aucun point. On a tracé la courbe représentative d’une fonction f ainsi que sa tangente TA en son point A(7;8). 1. a) f ′(7) = 0 b) f ′(7) = 2 c) f ′(7) = −2 d) f ′(7) = 1 2 2. Pour tout x dans [5;10], a) f ′(x) ≤0 b) f ′(x) = 0 c) f ′(x) ≥0 d) on ne peut pas conclure 3. La fonction p f est : a) décroissante sur [0;2] b) décroissante sur [7;13] c) décroissante sur [9;12] d) croissante sur [7;9] 4. La courbe de la fonction f ′ est : a) C1 b) C2 c) C3 d) C4 Exercice 1 : (5 points) Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1. Les points O, A,B,C,D,E sont tels que : — OAB est un triangle direct rectangle isocèle en O, — OBC est un triangle équilatéral direct, — OCD un triangle direct rectangle isocèle en O, — ODE est un triangle équilatéral direct. a) Donner la mesure principale des angles orientés suivants : (− − → OA,− − → OD); (− − → CB,− − → OC); (− − → DC,− − → BC); (− − → BA,− − → CB); b) Montrer que les droites (OA) et (DE) sont parallèles. 2. Résoudre les équations suivantes : a) sin(x) = p 2 2 dans ]0;4π]; b) cos(2x) = p 3 2 dans R 3. Simpliﬁer au maximum l’expression : pour tout x ∈R, E(x) = sin(π 2 + x)+ cos(π−x)+ cos(π 2 −x)+ sin(π+ x) Exercice 2 : (6 points) Soit f la fonction déﬁnie par : f (x) = 1,5x2 −4x+1 2x+1 1. Déterminer D, l’ensemble de déﬁnition de la fonction f . 2. Déterminer, en valeurs exactes, les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées. 3. Soit f ′ la fonction dérivée de f sur D. a) Montrer que f ′(x) = 3x2 +3x−6 (2x+1)2 . b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. On donnera les valeurs exactes des extremas locaux. c) Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse −1. d) Déterminer les abscisses des points de la courbe de f où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. Exercice 3 : (5 points) On veut fabriquer une brique de lait avec une feuille rectangulaire de longueur 32cm et de largeur 24cm en utilisant le patron ci-dessous. Les pliages se font selon les pointillés, les parties hachurées servent au collage. On appelle V(x), en cm3, le volume de la brique de lait en fonction de x, en cm. 1. Justiﬁer que x ∈[0;16]. 2. Montrer que V(x) = x(24−x)(16−x). 3. Soit V ′ la fonction dérivée de V sur [0;16]. a) Montrer que V ′(x) = 3x2 −80x+384 b) En déduire le tableau des variations de V. 4. Montrer qu’il existe une valeur de x pour laquelle le volume de la brique est maximal. Quel est ce volume maximal? On donnera les valeurs approchées au millimètre pour x et au cm3 pour le volume maximal. Exercice 4 : (5 points) Soit ABC un triangle et x un réel. A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que : − − → AE = 1 3 − − → AB + x− − → AC et − − → AF = x− − → AB + 1 3 − − → AC 1. Construire E et F pour x = −1. 2. Montrer que, pour tout réel x ̸= 1 3, les droites (EF) et (BC) sont parallèles : a) en utilisant le calcul vectoriel; b) en utilisant le repère (A,B,C) : on donnera les coordonnées des points B,C,E et F dans ce repère. 3. Pour quelles valeurs de x a-t-on : a) E = F ? b) BCFE parallélogramme? Exercice 5 : (5 points) Une entreprise est en construction sur un terrain à une certaine distance d’une route R. L’objectif de l’architecte responsable de cette construc- tion est de déterminer le point de la route le plus proche de l’entreprise aﬁn de construire l’allée la plus courte possible pour joindre l’entreprise à cette route. Après étude, il constate que, dans un repère orthonormé bien choisi, l’entreprise peut être symbolisée par un point E de coordonnées (1 ; 0) et que la route peut être modélisée, sur cette portion, comme la représentation graphique de la fonction x 7→px sur l’intervalle [0 ; 1], comme indiqué sur le graphique ci-contre dont l’unité est le km. x y O • E R Soit M un point de R d’abscisse x. On note EM = f (x). 1) Montrer que, pour tout x ∈[0 ; 1], f (x) = p x2 −x+1. 2) Soit g la fonction déﬁnie sur R par g(x) = x2 −x+1. a) Déterminer les variations de la fonction g sur R. b) En déduire celles de f sur l’intervalle [0 ; 1]. 3) a) Déterminer alors l’abscisse du point M qui minimise la longueur de l’allée. b) En déduire une valeur approchée de la longueur de cette allée au mètre près. c) Placer ce point sur la ﬁgure et tracer cette allée. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-commun-1s-2018.pdf