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CPGE MOHAMMEDIA-2TSI 1-2-3 2017-2018 PREMIER DEVOIR SURVEILLÉ 10 Octobre 2017 -

CPGE MOHAMMEDIA-2TSI 1-2-3 2017-2018 PREMIER DEVOIR SURVEILLÉ 10 Octobre 2017 - 8h à 11h Taouﬁki said Faites une grande attention à la rédaction et bon courage. Questions de cours 1. Montrer que la suite (Pn)n∈N déﬁnie par : ∀n ∈N , Pn(X) = e−nXn + 2n2X + ln( √ 3n + 1) est une base de R[X]. 2. Soit F = {(x, y, z, t) ∈R4 , x + z + t = y}. Montrer que F est un hyperplan de R4. 3. Soient E un R−ev de dimension 3 et B = (e1, e2, e3) une base de E. Montrer G = vect(e1, e3) et H = vect(e2) sont supplémentaires dans E. 4. Soient Σ un C−ev de dimension 4, ε = (ε1, ε2, ε3, ε4) une base de Σ et u ∈L(Σ) tels que : Matε(u) =     a 0 g 0 b e h k c 0 i 0 d f j l     Reconnaître un plan vectoriel dans Σ qui est stable par u. 5. Soient E un K−ev de dimension n et p un projecteur de E dont la dimension du noyau est m. Déterminer la trace de p. 6. Soient u et v deux endomorphismes d’un R−ev E vériﬁant u ◦v = v ◦u. Montrer que Im(u + 3IdE) est stable par v2. Problème Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Partie 1 : Etude d’une application linéaire 1 Soient E = R3[X] et ϕ une application déﬁnie sur E par : ∀P ∈E , ϕ(P)(X) = 2P(X + 2) + aP(X + 1) −P(X) où a ∈R 1. Montrer que ϕ ∈L(E). 2. Calculer ϕ(1), ϕ(X), ϕ(X2), ϕ(X3). 3. Déterminer la matrice A qui représente ϕ dans la base canonique de E. 4. Quel est le rang de A ? 5. En déduire que ϕ ∈Gl(E) ⇐ ⇒ a ̸= −1 6. Supposons que ϕ n’est pas un automorphisme. Montrer que : Im(ϕ) = R2[X] Partie 2 : Calcul de puissance d’une matrice Soit f l’endomorphisme de R4 canoniquement associé à la matrice A =     1 −1 2 −2 0 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 0     1. Donner f(x, y, z, t) pour (x, y, z, t) ∈R4. 2. Calculer rg(f). 3. Déterminer Ker(f) et Im(f). 4. Déterminer une base de Ker(f 2) et une base Ker[(f −IdR4)2]. 5. Montrer que ces deux espaces sont supplémentaires dans R4. 6. En déduire qu’il existe une base B′ = (e′ 1, e′ 2, e′ 3, e′ 4) de R4 dans laquelle la matrice de f est égale à A′ =     0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1     7. Déterminer la matrice de passage P de la base canonique à la base B′ puis calculer P −1 . 8. Calculer An pour tout n ∈N∗. 2 uploads/Ingenierie_Lourd/ ds-n0-1-enonce.pdf