Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Thé

Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Sous-groupes distingués et groupe quotient L'Moufadal Ben Yakoub Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences Département de Mathématiques Tétouan, Maroc. E-mail: benyakoub@hotmail.com L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Plan 1 Sous-groupes distingués 2 Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal 3 Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes 4 Produit semi-direct L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Plan 1 Sous-groupes distingués 2 Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal 3 Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes 4 Produit semi-direct L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Notion de sous-groupe normal Dé nition. Soient g et g′ deux éléments d'un groupe G. On dit que g et g′ sont conjugués, lorsqu'il existe un élément x ∈G tel que g′ = xgx−1. La relation de conjugaison est une relation d'équivalence et la classe d'équivalence de g ∈G, noté cl(g) = {xgx−1, x ∈G}, est appelée la classe de conjugaison de g. Si G est abélien, on a cl(g) = {g} pour tout g ∈G. Rappelons aussi que les classes de conjugaison forment une partition de G. Notation. Soit H sous-groupe de G, pour tout x ∈G, on note xHx−1 = {xhx−1, h ∈H}, l'image de H par l'automorphisme intérieur σx, c'est un sous-groupe de G. Si G est abélien, on a xhx−1 = h pour tous x ∈G et h ∈H. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Dé nition. Soit H un sous-groupe de G. On dit que H est normal ou distingué dans G lorsque xHx−1 = H, pour tout x ∈G. On note alors H ◁G et on a : H ◁G ⇔(xhx−1 ∈H, pour tout h ∈H et x ∈G). En eet, supposons que xHx−1 ⊂H pour tout x ∈G. Pour tout h ∈H, on a : h = x(x−1hx)x−1 ∈xHx−1, car x−1hx ∈H, ce qui prouve que H ⊂xHx−1. Exemples. 1) Pour tout groupe G, les sous-groupes {e}, Z(G) et G sont normaux dans G. 2) Pour tout morphisme f d'un groupe G dans un groupe G′, le noyau Ker(f) est un sous-groupe normal dans G. Par exemple : An ◁Sn et Int(G) ◁Aut(G). L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Remarques. Si pour tout h ∈H et x ∈G, on a xhx−1 = h, alors H ◁G. Mais, la réciproque est en général fausse. Par exemple, dans S3 = {e, γ, γ2, τ1, τ2, τ3}, le sous-groupe H = {e, γ, γ2} ◁S3. En eet : τ1γτ −1 1 = τ2γτ −1 2 = τ3γτ −1 3 = γ2 et τ1γ2τ −1 1 = τ2γ2τ −1 2 = τ3γ2τ −1 3 = γ. Mais, τ1γτ −1 1 = γ2 ̸= γ. Proposition. Si H ◁G et K ◁G, alors H ∩K ◁G. Remarque. En général, si K ◁H ◁G n'implique pas K ◁G. En eet, soit V = {e, σ1, σ2, σ3} le sous-groupe de A4, avec σ1 = [1, 2][3, 4], σ2 = [1, 3][2, 4] et σ3 = [1, 4][2, 3]. Pour tout σ ∈A4, on a : σσ1σ−1 = σ[1, 2][3, 4]σ−1 = [σ(1), σ(2)][σ(3), σ(4)] ∈V . De même σσ2σ−1 ∈V et σσ3σ−1 ∈V . On conclut que V ◁A4. Considérons dans A4 le sous-groupe K = {e, σ1} de V , donc de A4. Il n'est pas normal dans A4, car par exemple, γ1σ1γ−1 1 = σ2 / ∈K où γ1 = [2, 3, 4]. Et pourtant K est normal dans V puisque V est abélien. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Classe modulo un sous-groupe, indice Dé nition. Soit H un sous-groupe de G, pour tout x ∈G on note : xH = {xh, h ∈H}, la classe à gauche de x modulo H et Hx = {hx, h ∈H}, la classe à droite de x modulo H. Pour tout x ∈G, x ∈xH, x ∈Hx et H est en bijection avec xH et Hx, en particulier, pour x = e, on a : eH = He = H. Lemme. Soit H un sous-groupe de G. Pour tous x, y ∈G, on a : i) (xH = yH ⇔x−1y ∈H) et (Hx = Hy ⇔xy−1 ∈H). ii) Les classes à gauche (resp. à droite) modulo H forment une partition de G. iii) (H ◁G) ⇔(xH = Hx, pour tout x ∈G). iv) L'ensemble des classes à droite modulo H est en bijection avec l'ensemble des classes à gauche modulo H, via la bijection Hx 7→x−1H. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Preuve : i) Supposons que xH = yH. On a y ∈xH, donc il existe h ∈H avec y = xh ⇒x−1y = h ∈H. Inversement si, x−1y = h0 ∈H. Soit z ∈yH, il existe h ∈H tel que z = yh = xh0h ∈xH, d'où yH ⊆xH. De même on montre que xH ⊆yH ⇒xH = yH. De même pour les classes à droite. ii) Il su t de montrer que deux classes distinctes sont disjointes, ou encore que deux classes non disjointes sont égales. En eet, soit x, y ∈G tels que xH ∩yH contient au moins un élément z. Il existe donc h, h′ ∈H tels que z = xh = yh′. Dans ce cas, x−1y = h(h′)−1 ∈H, d'où xH = yH d'après le point (i). La preuve à droite est identique. iii) Supposons que xH = Hx pour tout x ∈G. Pour tout h ∈H, il existe h′ ∈H tel que xh = h′x, d'où xhx−1 ∈H ⇒H ◁G. Réciproquement, supposons que H ◁G. Fixons x ∈G, alors tout élément z de xH s'écrit z = xh avec h ∈H, donc z = xhx−1x. Mais xhx−1 ∈H par normalité de H, de sorte que z = (xhx−1)x ∈Hx. Ceci prouve que xH ⊆Hx. L'inclusion réciproque se montre de même. iv) L'application ϕ : Hx 7→x−1H étant surjective. De plus : x−1H = y−1H ⇒xy−1 ∈H ⇒Hx = Hy. Donc ϕ est injective. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Dé nition. Soit H un sous-groupe de G. On appelle indice de H dans G, noté [G : H], le cardinal de l'ensemble des classes modulo H (à droite ou à gauche). On dit que H est d'indice ni lorsque ce cardinal est ni. Proposition. Si G est un groupe ni, alors tout sous-groupe H de G est d'indice ni dans G, et on a : |G| = [G : H] × |H|. Preuve : Notons |G| = m, |H| = n, et [G : H] = p. Par dé nition, p est le nombre de classes (à gauche) modulo H. Chacune des classes est en bijection avec H, donc admet exactement n éléments. Il résulte que m = pn. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Proposition. Soit G un groupe ( ni ou non) et H sous-groupe d'indice 2 dans G, alors H ◁G. Preuve : Par hypothèse, il n'y a que deux classes à gauche modulo H, l'une est eH = H et l'autre yH (avec y / ∈H). De même, il n'y a que deux classes à droite modulo H, l'une est He = H et l'autre Hz (avec z / ∈H). Comme les classes forment une partition de G, il en résulte que yH = Hz. Pour tout x ∈G, on a xH = H = Hx si x ∈H et xH = yH = Hz = Hx si x / ∈H. Dans les deux cas, on a xH = Hx. Ce qui prouve que H ◁G. L. Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Normalisateur Proposition et dé nition. Soit H un sous-groupe de G, alors : L'ensemble NG(H) = {x ∈G, xHx−1 = H} est un sous-groupe de G, appelé le normalisateur de H dans G. Proposition. Soit H un sous-groupe de G. On a : i) H ◁NG(H). ii) NG(H) est le plus grand sous-groupe de G tel que H ◁NG(H). iii) En particulier H ◁G si et seulement si uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-3-sous-groupes-distingues-et-groupe-quotient.pdf

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