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Chapitre VI: Flexion d’une poutre droite Propriétés des poutres sollicitées à l

Chapitre VI: Flexion d’une poutre droite Propriétés des poutres sollicitées à la flexion pure ou plane 1- Obéissent à la notion de poutre en RDM 2- Droites et présentent un plan de symétrie 3- Les efforts extérieurs appartiennent au plan de symétrie et normaux à la ligne moyenne 4- Sous l’effet des charges la poutre fléchit en se déplaçant parallèlement au plan de symétrie 5- Symétrie des charge + symétrie géométrique de la poutre Etude de la sollicitation dans le plan de symétrie de la poutre Schématisation des poutres sollicitée en flexion Schématisation des liaisons Problèmes plans systèmes de forces planes Trois types de liaison Torseur des efforts intérieurs           z Fi y Fi G Fi M M T R     2 / 2 / 2 / Ty: Effort tranchant porté par l’axe central de la section au plan de symétrie Mz: Moment fléchissant porté par l’autre axe central de la section Efforts intérieurs Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupure fictive à la distance x de l’origine A. En isolant le tronçon 1, on obtient l’effort tranchant T et le moment fléchissant Mf (Mz), par: Diagrammes des efforts intérieurs Exemple: Poutre droite sur deux appuis simples en A et en B supporte deux charges ponctuelles de 10000N en C et D. Poids propre négligé T Diagrammes des efforts intérieurs L’équilibre impose: RA = RB = P dx dM T z y   On montre que: Contraintes de flexion En flexion les contraintes normales sont plus importantes que les contraintes tangentielles  Contraintes normales en flexion Dans le cas de flexion pure ( Mf 0 et T = 0 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles. 1- Le plan de symétrie de la poutre ne s’est pas déplacé 2- La ligne moyenne GG’ ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes nulles). 3- Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintes de compression ; celles situées en-dessous (MM’) sont tendues et supportent des contraintes de traction. 4- Toutes les lignes se sont courbées de telle sorte à rester parallèles aux sections droites qui elles ont légèrement tourné 5- Toutes les lignes parallèles à la ligne moyenne et n’ayant subi aucune variation de longueur constituent la surface neutre. Observations expérimentales Expression des contraintes normales en fonction du moment fléchissant Nous posons l’hypothèse que les sections droites restent planes après déformation (Navier-Bernouilli). Conséquence: la répartition des contraintes dans les plans parallèles au plan de symétrie est semblable à celle des contraintes dans le plan de symétrie La déformation en flexion pure donne une rotation des sections droites les unes par rapport aux autres autour d’axes normaux au plan de symétrie de la poutre. soit (ds): élément de poutre infiniment petit (S,x,y): repère tangent à la surface neutre d’origine S appartenant à une extrémité de l’élément de poutre. (S1,x1,y1): repère tangent à la surface neutre d’origine S1 appartenant à l’autre extrémité de l’élément de poutre. Plan de symétrie de la poutre y x d y1 x1 + S R d S1 ds Déformation de l’élément de poutre ds ds SS1  ds Rdα SS1   ) algébrique (rayon 0 R 0 dα    0) (R dα R TU 1 1   ds TS' or  U S' TS' TU    U S' Rdα dα R1   R)dα (R U S' 1   0 y : avec y R) (R : ) y , x , (S dans or 1 1 1 1       Allongement de la fibre TU ou encore: d x x1 y1 y R1 R d T S S’ U S1 + ds L’allongement relatif d’une ligne située à l’ordonnée y de la surface neutre s’écrit alors: R y Rd yd TS U S e        ' ' Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke R y E    R < 0 > 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x1positifs) y > 0 = E e: S1 x1 y1 Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre Plan de symétrie de la poutre Expression des contraintes normales en fonction de Mz Le moment de flexion Mz pour une poutre sollicité en flexion s’exprime par: ds M S M S z     1  S1  ds M z1 y1 Mz x1 (S) La projection de la précédente équation vectorielle sur l’axe z1 donne:   S z ds y M  R y E      S z dS y R E M 2 avec D’où avec 1 2 z à rapport par S de e quadratiqu moment :   S Gz dS y I y I M GZ z    Compte tenu de toutes ces relations: Répartition des contraintes dans le plan de symétrie de la poutre Contraintes maximales max max max y I M GZ z     GZ max I noté flexion de module : y IGZ Appelé aussi module de résistance de la section à la flexion Remarque: les modules des profilés standards sont répertoriés dans des tables Remarque: La répartition des contraintes est identique pour tous les plans parallèles au plan de symétrie de la poutre Conditions de résistance à la flexion Pour des questions de sécurité liées à l’usage des machines, la contrainte max dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite admissible liée au matériau et fixée par le constructeur ou par des normes : Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi : • Déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment fléchissant est maximum) • Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la contrainte admissible Rpe ou RPc imposée par le constructeur a/ résistance à l’extension e GZ z Rp I M   max Pour les fibres soumises à la traction b/ résistance à la compression c GZ z Rp I M   max Pour les fibres soumises à la compression Unités: Rpe et Rpc en [MPa] ; Mz en [N.mm] et IGZ/en [mm3] Concentration de contraintes Lorsque les solides étudiés présentent de brusques variations de section, les relations précédentes ne s’appliquent plus. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n’est plus proportionnelle à la distance y. max max max y I M GZ z    Remarque: Pour un matériau donné, il est intéressant de choisir la poutre dont les section droites sont de module de flexion maximal pour une surface minimale, on réalise ainsi un gain de poids considérable On a alors pour la contrainte maximale: Avec max max 0 y I M GZ z    0 max   t K  Exemple de distribution des contraintes Contraintes tangentielles (ou de cisaillement) en flexion Pour le cas d’une flexion plane (Mz 0 et T 0) Toute section subissant un effort tranchant T présente des contraintes de cisaillement distribués comme sur le schéma ci-dessous: xy yx xy Deux types de contraintes tangentielles * xy: contraintes tangentielles nent aux sections droites de la poutre et contenues dans le plan normal à (G,x) de direction celle du vecteur unitaire y * yx: contraintes tangentielles contenues dans le plan normal à (G,y) de direction celle du vecteur unitaire x 1 2 + b dy dx On montre par l’équilibre des moments des forces de cohésion dans le parallélépipède du schéma précédent par rapport à l’arête 1-2 que: (yxb dx) dy - (xy b dy) dx = 0 xy = yx Réciprocité des contraintes tangentielles Expression des contraintes tangentielles (Cas de section rectangulaire) y x dx yx   Mz Ty Répartition des contraintes normales dS Vue dans le plan (y,z) Vue dans le plan (x,y) dS y I M dS A GZ z    Pour toute la surface SA:     2 / h y A Gz z S dS y I M dS A  Sur la face SB parallèle et distante de dx de la surface SA, la somme des forces de cohésion vaut:       2 / ) ( h y A Gz z z S dS y I dM M dS B  Les contraintes tangentielles sont uniformément réparties sur la surface normale à SA et située à l’ordonnée y. Elles valent yxb dx, la surface parallèle à celle-ci et d’ordonnée h/2 est libre de contraintes(les contraintes tangentielles y sont nulles). L’équilibre du parallélépipède formé par SA, SB et les surfaces qui leur sont normales, s’écrit: 0 ) ( 0 2 / 2 /              h y A Gz z z A h y Gz z yx S S uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre6-flexion.pdf