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Devoir de maths 7C 16/05/2014 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION

Devoir de maths 7C 16/05/2014 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE Niveau : 7C D Exercice 1 (3 points) Dans le plan affine rapporté à un repère orthonormé que : ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) 2 2 m 1 x 3my 2 m 1 x 3 m 0 − + + − + + = − + + − + + = − + + − + + = − + + − + + = 1° Déterminer ( ( ( ( ) ) ) ) m E dans les cas suivants 2° Quelle est la valeur dem pour laquelle 3° On suppose que m 0,m 1 ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠et soitO' 1,0 a) Montrer que l’équation de ( ( ( ( ) ) ) ) m E dans ce repère est b) Discuter suivant les valeurs de m la nature de la courbe c) Déterminer les éléments géométriques de Exercice 2 (4 points) Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles orthogonal deO sur le plan( ( ( ( ) ) ) ) ABC . 1° a) Montrer que les paires d’arêtes opposées sont perpendiculaires. Exemple b) Montrer que H est l’orthocentre du triangle 2° L’espace est maintenant muni d’un repère orthonormé a) Déterminer une équation cartésienne du plan b) Donner une représentation paramétrique de la droite c) Montrer que le plan ( ( ( ( ) ) ) ) ABC et la droite 3° a) Trouver des coefficients entiers a,b b) Vérifier queO appartient aux ensembles suivants p M S ∈ ∈ ∈ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 1764MA 441MB 196MC 5112 + + = + + = + + = + + = M P ∈ ∈ ∈ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ( ( ( 49 1764 MA 441MB 196MC MH MO 85716 + + − = + + − = + + − = + + − = 4° a) Calculer la distance du pointO au plan b) Calculer le volume du tétraèdreOABC c) Vérifier que le carré de l’aire du triangle tétraèdre. Exercice 3 (6 points) Dans le plan orienté, on considère un carré On pose : I B C = ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ; B A' S (A) = = = = ; D' S (D) 1° a) Faire une figure illustrant les données qu’on complétera au fur et à mesure. On prendra b) Montrer qu’il existe une seule rotation c) Trouver les axes , ' ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆tels que :r S S S S = = = = = = = = 2° Soit ϕ ϕ ϕ ϕ l’antidéplacement défini par ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = forme réduite. 3° On désigne par Γ Γ Γ Γ et ' Γ Γ Γ Γ les cercles de diamètres respectifs a) Soits la similitude directe qui envoie b) Soit Ω Ω Ω Ω le centre des . Montrer que Ω Ω Ω Ω 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMA ﺟﻣﻌﻳﺔ ﺃﺻﺩﻗﺎء ﺍﻟﺭﻳﺎﺿﻳﺎﺕ ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE MATHS Durée :4h Proposé le epère orthonormé( ( ( ( ) ) ) ) O ; u , v , on considère l’ensemble m 1 x 3my 2 m 1 x 3 m 0 − + + − + + = − + + − + + = − + + − + + = − + + − + + = , oùm est un paramètre réel.. dans les cas suivants m 0;m 1 = = = = = = = = . pour laquelle( ( ( ( ) ) ) ) m E est un cercle? ( ( ( ( ) ) ) ) O' 1,0 − − − − . On note ( ( ( ( ) ) ) ) X,Y les coordonnées de M dans le repère dans ce repère est : ( ( ( ( ) ) ) ) 2 2 m 1 X 3mY 4 0 − + + = − + + = − + + = − + + = . la nature de la courbe ( ( ( ( ) ) ) ) m E . c) Déterminer les éléments géométriques de : 1 3 E                                 et( ( ( ( ) ) ) ) 3 E− − − − puis les construire. irectangle (les trianglesOAB ,OBC et OCA sont rectangles en les paires d’arêtes opposées sont perpendiculaires. Exemple :( ( ( ( ) ) ) ) OC AB ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ est l’orthocentre du triangle ABC . uni d’un repère orthonormé( ( ( ( ) ) ) ) O,i, j,k . Soient ( ( ( ( ) ) ) ) A 1,0,0 , B 0,2,0 a) Déterminer une équation cartésienne du plan( ( ( ( ) ) ) ) ABC . entation paramétrique de la droite( ( ( ( ) ) ) ) D passant parO et orthogonale à et la droite ( ( ( ( ) ) ) ) D se coupent en le point H 36 18 12 , , 49 49 49                         . a,b etc tels que : ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) { { { { } } } } H bar A,a , B,b , C,c = = = = . appartient aux ensembles suivants puis les déterminer: 2 2 2 1764MA 441MB 196MC 5112 + + = + + = + + = + + = . ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) 49 1764 MA 441MB 196MC MH MO 85716 + + − = + + − = + + − = + + − = i i i i au plan( ( ( ( ) ) ) ) ABC . OABC . En déduire l’aire du triangle ABC . c) Vérifier que le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires de Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD , de centreO . C D' S (D) = = = = ; J C A' = ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ; K C D = ∗ = ∗ = ∗ = ∗ . Le symbole * désigne le milieu. 1° a) Faire une figure illustrant les données qu’on complétera au fur et à mesure. On prendra une seule rotation r telle que : r(D) B = = = = etr(A) A' = = = = . Caractériser ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ' CA A'C r S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = = = = = = . d) Caractériser l’application (D) B ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = et (A) A' ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = . Montrer que ϕ ϕ ϕ ϕ est une symétrie glissante et donner sa les cercles de diamètres respectifs[ [ [ [ ] ] ] ] CD et[ [ [ [ ] ] ] ] CA' . la similitude directe qui envoieO enC etC en B . Déterminer le rapport et un angle de Ω Ω Ω Ω est sur Γ Γ Γ Γ et sur ' Γ Γ Γ Γ . c) Montrer que Γ Γ Γ Γ 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 Proposé le 16 Mai 2014 de 8h à 12h , on considère l’ensemble ( ( ( ( ) ) ) ) m E des points ( ( ( ( ) ) ) ) M x,y tels dans le repère( ( ( ( ) ) ) ) O'; u , v uploads/Ingenierie_Lourd/ devoiramimath7c5-2014.pdf