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Devoir à la maison Exercice n° : 1 Répondre par vrai ou faux en justifiant la r

Devoir à la maison Exercice n° : 1 Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse. 1) Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Il existe au moins un réel  de [0, 1] tel que f( ) f 1 2) n n² lim sin 0 n 1 . 3) Soit a et b deux nombres complexes non nuls. Si arg a 2arg b 2 alors 2 a.b est un réel strictement positif. 4) Il existe un unique nombre complexe z tel que z 2 z arg z 1 2i arg z 2 . Exercice N° : 2 On a représenté dans un repère orthonormé ( ) O,i,j , la courbe Cf représentative d’une fonction f définie et continue sur ]0, +∞[ ; la courbe Cg représentative d’une fonction g définie et continue sur IR. • La courbe Cf admet une branche infinie parabolique de direction celle de ( ) O,i en +∞. • La droite ( ) O,j est une asymptote de Cf. • La courbe Cg est une parabole 1°) A l’aide d’une lecture graphique, répondre aux questions suivantes : a) Donner xlim f(x) →+ , x f(x) lim x →+ . b) Donner x g(x) lim f(x) →+ , xlim fog(x) →− et x 0 lim fog(x) → c) Déterminer   ( ) g 1,2 − ,   ( ) fog 0.2 et   ( ) gof 0,+ 2°) Soit h la fonction définie par : ( ) 1 h(x) f x = a) Déterminer le domaine de définition de h. b) h est-elle prolongeable par continuité en 0 ? justifier. c) Montrer que h est paire. d) Dresser le tableau de variation de h. Exercice n° : 3 1) Etant donné un entier naturel p ≥ 2 , on considère la suite (un )np où p n n p C u n = a) Montrer que n p 1 1 1 2 n p, u 1 1 ... 1 p! n n n −       = − − −         b) En déduire que (un )np est une suite croissante, qu’elle converge vers 1 p! et qu’elle est majorée par 1 p! . Cf Cg 2 3 4 -1 -2 -3 2 3 4 5 -1 -2 -3 0 1 1 x y i j 2) On considère les deux suites (Sn) et (tn) définies sur IN* par : n n p 0 1 S p! = = et n n 1 t 1 n   = +     a) Montrer que n 1 1 1 n 1, 1 1 ... 3 2 2 −  + + + +  b) Montrer que si p ≥ 1 alors p 1 1 1 p! 2 −  - En déduire que (Sn) est majorée par 3. c) Montrer que (Sn) est convergente. On notera n n e lim S →+ = 3) a) Montrer que (tn) est croissante et que pour tout n  1, on a : n n t S 3   . Conclure. b) Montrer que Si m > n ≥ 2 alors n p m m p p 1 C t 1 m = + En déduire en utilisant 1) que pour tout n ≥ 1, m n m lim t S →+  c) Montrer que n n n n e lim t lim S →+ →+ = = Exercice n° : 4 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u, v ), on considère les points A(-i) et B(i). A tout point M(z) différent de A on associe le point M’ d’affixe z i z' iz 1 − = − + 1) On suppose que M  A et M  B. a) Montrer que ( ) ( )  u,OM' MA,MB 2 2   +  b) En déduire l’ensemble  des points M(z) tels que z’IR. 2) Soit M(z)P\{A, B}. On désigne par N le point d’affixe z + 2i. a) Vérifier que ABNM est un parallélogramme. b) Montrer que ( ) ( )  u,BM' u,BN 2 −  En déduire une construction de M’ pour un point M de  \{B}. 3) On considère l’équation, dans C, (E) : (z – i)3 = (-iz + 1)3. a) Montrer que si z est une solution de (E) alors z est réel. b) Soit , 2 2    −     . Montrer que : i 2 2 tan i e itan 1    −     − = − + En déduire les valeurs de  pour les quelles tan est une solution de (E). 4) Soit  un réel de , −    . a) Résoudre dans C l’équation : z² – 2iz + 2iei – e2i = 0. b) On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives : z1 = ei et z2 = 2i – ei. Montrer que M1M2 = 2 2 2sin −  c) En déduire la valeur de  pour laquelle M1M2 est maximale. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-a-la-maison-1-4m-20-21.pdf