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Comparaison des anciens et des nouveaux programmes de MPSI Les plans des deux p

Comparaison des anciens et des nouveaux programmes de MPSI Les plans des deux programmes ´ etant sensiblement diﬀ´ erents, nous avons choisi de pr´ esenter les modiﬁcations en suivant l’ordre du nouveau programme. Programme de d´ ebut d’ann´ ee C’est une nouveaut´ e par rapport aux anciens programmes. Il s’agit ` a la fois d’eﬀectuer une transition plus souple avec l’ann´ ee de terminale et d’introduire des notions de base utiles pour les disciplines scientiﬁques. En contrepartie il n’existe plus de premi` ere ni de deuxi` eme p´ eriodes. I. Nombres complexes et g´ eom´ etrie ´ el´ ementaire 1. Nombres complexes. Ce paragraphe n’est pas repris ensuite. suppressions : la structure de R-alg` ebre de C. L’´ etude des racines n-i` emes de l’unit´ e est conserv´ ee mais la notation Un n’est plus au programme. ajout : interpr´ etation du module et de l’argument de 1 z · suppression : condition de cocyclicit´ e de quatre points. Les deux paragraphes suivants sont repris ensuite dans le cadre plus g´ en´ eral de la g´ eom´ etrie euclidienne. Nous signalons donc seulement ici les ´ eventuels ajouts ` a faire en d´ ebut d’ann´ ee. 2. G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan ajout : interpr´ etation g´ eom´ etrique de Re(¯ ab) et de Im(¯ ab). 3. G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace Pour les cordonn´ ees sph´ eriques, on convient de noter θ la colatitude, mesure dans [0, π] de l’angle entre Oz et OM. ajout : intersection de deux sph` eres. II. Fonctions usuelles et ´ equations diﬀ´ erentielles lin´ eaires 1. Fonctions usuelles Ce paragraphe n’est pas repris ensuite, mais des propri´ et´ es suppl´ ementaires pour les fonctions usuelles sont donn´ ees dans le paragraphe Int´ egration et d´ erivation. ajout : le principal ajout est l’´ etude des fonctions hyperboliques r´ eciproques. Par ailleurs on pr´ ecise que les ´ etudiants doivent connaˆ ıtre les croissances compar´ ees des fonctions exponentielles, logarithmes et puissances, et savoir d´ eriver une fonction de la forme x 7→u(x)v(x). suppression : est supprim´ ee la caract´ erisation des fonctions lin´ eaires, exponentielles r´ eelles, logarithmes, puissances et t 7→eat(a ∈C) par continuit´ e et ´ equation fonctionnelle. On ne conserve que l’´ equation f(t + u) = f(t)f(u), o` u f est d´ erivable de R dans C. 2. Equations diﬀ´ erentielles lin´ eaires Ce paragraphe n’est pas repris ensuite. Le nouveau programme cite explicitement le principe de superposition lorsque le second membre est de la forme b1+b2. ajout : m´ ethode d’Euler de r´ esolution approch´ ee pour les ´ equations diﬀ´ erentielles lin´ eaires du premier ordre. 3. Courbes param´ etr´ ees. Coniques Ce paragraphe est compl´ et´ e ensuite, dans le chapitre G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle, par l’´ etude m´ etrique des courbes planes. suppression : position locale de la courbe par rapport ` a la tangente, concavit´ e, inﬂexions, rebroussements. suppression : position de la courbe par rapport ` a une asymptote. suppression : courbe d´ eﬁnie par une ´ equation F(x, y) = 0, th´ eor` eme des fonctions implicites et applications ` a l’´ etude de ces courbes. suppression : eﬀet d’une similitude sur une conique. – 1 – ajout : ´ etude des ensembles d´ eﬁnis par une ´ equation de la forme P(x, y) = 0, o` u P est un polynˆ ome du second degr´ e ` a deux variables. Equation r´ eduite. Les ´ etudiants doivent savoir distinguer la nature d’une cˆ onique ` a l’aide du discriminant. L’ancien programme traitait uniquement le cas des ´ equations sans terme en xy. Les chapitres qui suivent reprennent en grande partie le plan des anciens programmes. On peut toutefois noter la disparition de la rubrique Travaux pratiques. Lorsque les activit´ es de cette rubrique ´ etaient clairement des illustrations directes du cours, nous n’avons pas consid´ er´ e leur disparation du texte des programmes comme une suppression. Un paragraphe nouveau intitul´ e Approximation regroupe une bonne partie des m´ ethodes num´ eriques et algorithmiques qui ﬁguraient au programme des travaux pratiques. Certains paragraphes disparaissent mais leur contenu se retrouve dans le programme de d´ ebut d’ann´ ee ou dans d’autres paragraphes. C’est en particulier le cas des fonctions ` a valeurs complexes pour lesquelles une br` eve extension est faite ` a plusieurs reprises (continuit´ e, int´ egration, d´ erivation). Analyse et g´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle Les objectifs et commentaires g´ en´ eraux de cette partie sont inchang´ es. I. Nombres r´ eels, suites et fonctions. Il est pr´ ecis´ e que l’on admet la propri´ et´ e : toute partie major´ ee non vide de R admet une borne sup´ erieure. suppression : congruence des nombres r´ eels modulo a, o` u a > 0. On parle de la structure d’espace vectoriel des suites r´ eelles et plus de celle d’alg` ebre. suppression : comparaison logarithmique de deux suites. La d´ emonstration du th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass n’est plus exigible des ´ etudiants. Il est pr´ ecis´ e que tout r´ eel est limite d’une suite de nombres rationnels. La phrase : ”description et mise en œuvre d’algorithmes d’approximation d’un nombre r´ eel ` a l’aide de suites et comparaison de leurs performances” est remplac´ ee par ”on pr´ esentera, sur des exemples, quelques algorithmes de calcul de nombres r´ eels remarquables”.... De mˆ eme que pour les suites on fait ressortir pour les fonctions la structure d’espace vectoriel et non celle d’alg` ebre. On se limite pour les fonctions lipschitziennes ` a la d´ eﬁnition. II. Calcul diﬀ´ erentiel et int´ egral La principale modiﬁcation de cette partie est la suppression de l’int´ egration sur un intervalle quelconque. Cette ´ etude sera faite en deuxi` eme ann´ ee. 1. D´ erivation des fonctions ` a valeurs r´ eelles ajout : application de l’in´ egalit´ e des accroissements ﬁnis ` a l’´ etude des suites d´ eﬁnies par une relation de r´ ecurrence un+1 = f(un). 2. Int´ egration sur un segment des fonctions ` a valeurs r´ eelles On ne d´ eﬁnit plus de fonction en escalier sur R, mais seulement sur un segment. On pr´ ecise les sommes de Riemann : Rn(f) = b −a n n−1 P j=0 f(aj), avec (a0, ..., an) la subdivision de pas constant. 3. Int´ egration et d´ erivation suppression : primitive d’une fonction rationnelle et d’une fonction x 7→P(x)eαx o` u P ∈K[X]. suppression : majoration explicite de l’erreur dans l’approximation d’une int´ egrale par la m´ ethode des trap` ezes. On admet dor´ enavant que, pour une fonction de classe C1, l’erreur est un O 1 n2 . suppression : il convient de donner un exemple o` u f admet un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en un point sans ˆ etre deux fois d´ erivable en ce point. 4. Approximation Ce nouveau paragraphe regroupe un certain nombre de m´ ethodes num´ eriques et les algorithmes associ´ es. L’´ etude de la m´ ethode de Newton est plus d´ etaill´ ee, en particulier avec la convergence de l’algorithme dans le cas o` u f est de classe C2, f ′′ ne s’annule pas et f(x0)f ′′(x0) ⩾0. – 2 – III. Notions sur les fonctions de deux variables r´ eelles 1. Espace R2, fonctions continues suppressions : on ne consid` ere plus la norme ∥∥∞sur R2, mais uniquement la norme euclidienne. Les notions de ferm´ e et de point adh´ erent ne sont plus au programme, ainsi que le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites born´ ees de R2 et les fonctions lipschitziennes ` a deux variables. La caract´ erisation s´ equentielle de la continuit´ e en un point n’est plus trait´ ee. 2. Calcul diﬀ´ erentiel suppression : expression du gradient en coordonn´ ees polaires. ajout : exemples simples d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles, ´ equation des cordes vibrantes. 3. Calcul int´ egral suppression : exemples d’applications des int´ egrales simples et doubles au calcul d’aires planes, de volumes, de masses, de centres et de moments d’inertie. IV. G´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle L’´ etude g´ eom´ etrique des courbes planes param´ etr´ ees est faite dans le programme de d´ ebut d’ann´ ee. 1. Etude m´ etrique des courbes planes suppression : exemples simples de recherche de coubes planes d´ eﬁnies par une condition diﬀ´ erentielle. 2. Champs de vecteurs du plan et de l’espace suppression : rotationnel. Alg` ebre et g´ eom´ etrie I. Nombres et structures alg´ ebriques usuelles 1. Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications suppression : fonction caract´ eristique d’une partie, lien avec les op´ erations sur une partie. suppression : d´ eﬁnition d’un mono¨ ide. suppression : partition d’un ensemble. Relation d’´ equivalence. 2. Nombres entiers naturels, ensembles ﬁnis, d´ enombrements On notera dans les commentaires la suppression de la phrase : ”on exploitera les repr´ esentations graphiques par des arbres, et on mettra en uploads/Ingenierie_Lourd/ comp-maths-mpsi.pdf