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1 Ecole des Ponts ParisTech 25 mars 2021 Département GCC Cours de Plasticité :

1 Ecole des Ponts ParisTech 25 mars 2021 Département GCC Cours de Plasticité : contrôle des connaissances Durée : 3h00 Tous documents et notes de cours autorisés Le sujet comporte deux problèmes indépendants Problème n°1 (8 points) Evolution élastoplastique d'une structure réticulée partant d'un état initial non naturel On reprend l’exemple de la structure réticulée traitée dans le cours (amphi n°2) et dont l’ensemble des données est rappelé sur la figure ci-dessus, hormis l’état initial de la structure qui n’est plus naturel, mais défini par le système d’efforts suivant dans les barres : 0 0 1 1 2 2 ( 0) , ( 0) / 2 N Q N L N Q N L       1. Enoncer les conditions que doivent vérifier ces efforts initiaux, et montrer qu’elles sont bien satisfaites. 2. Faisant l'hypothèse que la barre n°1 reste plastifiée en traction, on analysera l'évolution élastoplastique de la structure à partir de cet état initial lorsque l'on fait progressivement croître A B ' A ' B O l Q 1 N 2 N 1  i  i N L  l ES / L  2 q   2 le chargement Q à partir de la valeur nulle. On calculera en particulier l'évolution des efforts dans les barres et de leurs allongements, et l'on tracera le diagramme donnant la valeur du chargement Q en fonction du déplacement q du point d'application du chargement. On n'omettra pas de vérifier la règle d'écoulement plastique de la barre plastifiée. 3. Calculer la charge limite Ql de la structure et la valeur de q correspondante. Décrire le mécanisme d'écoulement plastique libre qui lui est associé. Commenter le résultat. 4. La structure étant déchargée juste avant d'atteindre la charge limite ( , l Q Q Q   0) Q   , on déterminera les efforts et allongement résiduels correspondant à la décharge totale ( ) l Q Q   . Tracer la courbe Q-q correspondant à l'ensemble du cycle charge-décharge. Comparer cette courbe à celle obtenue lorsque l'état initial est naturel (voir amphi n°2). Corrigé 1. Les efforts initiaux dans les barres doivent être à la fois plastiquement et statiquement admissibles, ce qui est ici bien le cas puisque d'une part: 0 0 1 2 , / 2 N L L N L L     tandis que d'autre part l'équation d'équilibre en l'absence de chargement est vérifiée: 0 0 1 2 / 2 / 2 / 2 0 N N L L     2. On fait l'hypothèse que la barre n°1 reste plastifiée en traction depuis le début du chargement: 1 1 , 0 N L N   ce qui permet de calculer l'effort dans la barre n°2 à partir de la seule équation d'équilibre: 1 2 2 / 2 / 2 N N Q N Q L      ainsi que son allongement puisque cette barre reste élastique: 0 2 2 2 ( ) / / N N l ES Ql ES    . La relation de compatibilité géométrique fournit alors la valeur de l'allongement total de la barre n°2: 1 2 / 2 / 2 Ql ES     3 qui est purement plastique puisque, l'effort demeurant constant dans cette barre, l'allongement élastique y est nul: 0 1 1 1 1 1 0 ( ) / 2 0 / 2 e p N N l ES Ql ES           Cette dernière relation permet de s'assurer que la règle d'écoulement plastique est satisfaite: 1 1 1 , 0: / 2 0 p N L N Ql ES      ce qui signifie que la solution du problème d'évolution élastoplastique est bien donnée par: 1 1 2 2 , / 2 / 2, / N L Ql ES N Q L q Ql ES            La figure ci-dessous représente la courbe donnant le chargement Q en fonction de q. On observe que cette courbe est linéaire, sa pente étant égale à la raideur élastique d'une seule barre, la barre n°2, puisque la barre n°1 qui est plastifiée ne peut contribuer à reprendre le chargement. 3. La solution précédente est valable tant que la barre n°2 demeure élastique, c'est-à-dire tant que: 2 / 2 3 / 2 l N Q L L Q Q L       où Ql=3L/2 représente la charge limite de la structure. La valeur de q correspondante est donnée par: ( 3 / 2) 3 / 2 l l q q Q L Ll ES    Maintenant le chargement à cette valeur ( 3 / 2, 0 Q L Q   ), un mécanisme d'écoulement plastique libre se forme alors par allongement purement plastique des deux barres: q Q / ES l 4 1 1 1 1 2 2 2 2 , 0 = 0 , 0 = 2 0 p p N L N N L N                      On observe que, conformément aux résultats généraux énoncés dans le cours, la charge limite et le mécanisme de ruine associé, sont indépendants de l'état initial de la structure. 4. La décharge de la structure s'effectue par décharge élastique de chacune des barres, d'où l'évolution des efforts: él. 1 1 1 él. 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 / 5 ( ) ( ) ( ) 4 / 5 l l l l N Q Q N Q N Q L Q N Q Q N Q N Q L Q                  où él.( ) i N Q  désigne l'effort dans la barre n°i en phase élastique à partir d'un état initial naturel, sous l'action du chargement Q. Soit pour une décharge totale ( ) l Q Q   : 1 2 2( 3 / 2) / 5 2 / 5 4( 3 / 2) / 5 / 5 r r N L L L N L L L              La barre n°2 étant demeurée élastique tout au long du cycle charge-décharge, son allongement résiduel vaut:   0 2 2 2 ( ) / / 5 ( / 2) / 2 3 /10 r r r q N N l ES L L l ES Ll ES        d'où l'allongement résiduel la barre n°1: 1 2 / 2 3 / 20 r r Ll ES     0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 / Q L / qES Ll 0,3 0,8 5 L'ensemble du cycle charge-décharge de la structure est représenté dans le plan (Q-q) ci- dessus, ainsi qu'en traits pointillés celui correspondant à un état initial naturel. a) Conformément aux résultats généraux du cours, la charge limite de la structure est indépendante de son état initial. b) Les efforts résiduels sont indépendants de l'état initial, contrairement aux allongements résiduels des barres qui en dépendent. Attention, ceci n'est pas un résultat général. c) Bien que parfaitement linéaire, la courbe de première charge ne correspond pas à un comportement élastique réversible, mais bien à un comportement élastoplastique, puisque la courbe de décharge élastique ne coïncide pas avec la courbe de première charge. 6 Problème n°2 (12 points) Comportement d'un massif de sol sous sollicitation sismique Un massif de sol d'épaisseur H, reposant en partie inférieure (y=0) sur un substratum rocheux indéformable et libre de contrainte en surface (y=H), est soumis à une sollicitation sismique modélisée par un champ homogène de forces de volume horizontales x k ge  , où k est un coefficient sans dimension, appelée coefficient sismique, et g  désigne le poids volumique du sol. Ce dernier est une argile saturée dont le comportement est modélisé par une loi élastique linéaire isotrope (coefficients de lamé  et ) parfaitement plastique standard, le critère de plasticité étant celui de Tresca (cohésion C ): ( ) 2 0 ( , contraintes ) I III I II III f C principales             On cherche à évaluer les déplacements du massif en fonction de l'intensité de la sollicitation sismique caractérisée par le coefficient k, que l'on fait croître progressivement à partir de zéro. 1. Désignant par 0  le champ de contrainte initial (c’est-à-dire avant l’application de la sollicitation sismique : k=0) dans le massif, expliciter toutes les conditions que doit vérifier un tel champ. Montrer que le champ de contrainte particulier 0 ( )1 g y H     vérifie ces conditions. 2. Phase de comportement élastique. uploads/Ingenierie_Lourd/ controle-2021-enonce-corrige.pdf