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1 Ecole des Ponts ParisTech 20 avril 2015 Département GCC Cours de Plasticité :

1 Ecole des Ponts ParisTech 20 avril 2015 Département GCC Cours de Plasticité : contrôle des connaissances Durée : 2h30 Tous documents et notes de cours autorisés. Le sujet comporte deux problèmes indépendants Problème n°1 (7 points) Evolution élastoplastique d’une poutre en flexion O A Q Y µ B 2l l x q y O A Q Y µ B 2l l x q y Une poutre droite est constituée de deux tronçons OA et AB de longueurs respectives l et 2l reliées entre elles au point A par une articulation sans frottement (moment nul) comme indiqué sur la figure. L’appui O est un encastrement fixe, tandis l’appui B est un encastrement mobile. On désigne par Y la réaction verticale de l’appui B et par µ le moment d’encastrement en ce même point. Cette structure est soumise à l’action d’une charge concentrée verticale d’intensité Q comptée positivement vers le bas appliquée à l’articulation A. 1. Equilibre statique. Justifier par un raisonnement d’équilibre statique la relation 2lY µ = − . Donner l’expression du moment fléchissant M en tout point x de la structure en fonction de Q, Y, l et x (0 3 x l ≤ ≤ ) et en déduire le degré d’hyperstaticité du problème. Représenter sur la figure les diagrammes de moments fléchissants statiquement admissibles. 2. Comportement élastique La structure est élastique homogène de raideur en flexion égale à EI en tout point. Son état initial étant naturel, calculer l’énergie élastique de flexion ) , ( Y Q W ∗ et en déduire par 2 application du théorème du potentiel minimum que Y=Q/9. Déterminer le diagramme des moments fléchissants en phase élastique. Donner l’expression du déplacement q du point A en fonction de Q, l et EI et représenter l’allure de la déformée de la structure. 3. Comportement élastoplastique 3.1. Limite d’élasticité. La poutre obéit à un comportement élastique parfaitement plastique, de moment limite en flexion (positive ou négative) égal à m. Indiquer quelle est la section qui plastifie en premier et en déduire la valeur de la limite d’élasticité Qe ainsi que la valeur correspondante qe du déplacement du point A et le diagramme des moments fléchissants associé. 3.2 Phase élastoplastique. Posant 0 avec ≥ ∆ ∆ + = Q Q Q Q e , on se propose de résoudre le problème isostatique associé représenté sur la figure ci-dessous, dans lequel l’encastrement en O a été remplacé par une articulation sans frottement. O A B 2l l x e Q Q Q − = ∆ µ ∆ Y ∆ 0 = ∆ O M q ∆ O A B 2l l x e Q Q Q − = ∆ µ ∆ Y ∆ 0 = ∆ O M q ∆ Calculer µ ∆ ∆ et Y en fonction de Q ∆ , tracer le diagramme des moments fléchissants M ∆ puis donner l’expression de l’énergie élastique de flexion ) ( Q W ∆ ∗ associée à ce diagramme. En déduire la relation entre Q q q q e ∆ − = ∆ et en phase élastoplastique. La règle d’écoulement plastique est-elle bien vérifiée à l’encastrement O ? 4. Charge limite et courbe charge-déplacement 4.1. Jusqu’à quelle valeur de Q la phase de comportement élastoplastique précédente est-elle valable ? Montrer que cette valeur représente bien la charge limite Ql et décrire le mécanisme d’écoulement plastique libre correspondant. 4.2. Tracer l’allure de la courbe charge-déplacement dans le plan Q-q pour toutes les phases de chargement. * * * 3 Corrigé du problème n°1 1. Equilibre statique L’équilibre en moment par rapport au point A du tronçon de poutre AB donne immédiatement : lY lY M A 2 0 2 − = → = + = µ µ d’où l’expression du moment fléchissant au point x de la poutre : ) ( ) 3 ( ) ( : ) 3 ( sur ) )( ( ) ( ) 3 ( ) ( : ) 0 ( sur x l Y x l Y x M l x l AB x l Q Y x l Q x l Y x M l x OA − = − + = ≤ ≤ − − = − − − + = ≤ ≤ µ µ avec les valeurs particulières : 2 ) 3 ( et ) ( ) 0 ( lY l x M M l Q Y x M M B O − = = = = − = = = µ O A Q B lY 2 − l Q Y ) ( − O A Q B lY 2 − l Q Y ) ( − Les diagrammes de moments fléchissants statiquement admissibles avec le chargement Q (représentés sur la figure ci-dessus) dépendent d’une seule inconnue hyperstatique Y. Le problème est donc hyperstatique d’ordre un. 2. Comportement élastique Le calcul de l’énergie élastique de flexion associée à un diagramme statiquement admissible quelconque, s’écrit compte tenu des expressions ci-dessus :       − + − − = = ∫ ∫ ∫ ∗ l l l l x x l Y x x l Q Y EI x x M EI Y Q W 0 3 2 2 2 2 3 0 2 d ) ( d ) ( ) ( 2 1 d ) ( 2 1 ) , ( soit tous calculs faits : [ ] 2 2 3 8 ) ( 6 ) , ( Y Q Y EI l Y Q W + − = ∗ La valeur de l’inconnue hyperstatique correspondant à la solution élastique du problème s’obtient grâce au théorème du potentiel minimum : 4 [ ] 9 0 16 ) ( 2 6 3 Q/ Y Y Q Y EI l Y W = → = + − = ∂ ∂ ∗ d’où le diagramme de moments fléchissants en phase élastique : O A Q B 9 / 2Ql − 9 / 8Ql − EI Ql q 27 / 8 3 = O A Q B 9 / 2Ql − 9 / 8Ql − EI Ql q 27 / 8 3 = Le théorème de Castigliano permet alors de calculer le déplacement q du point d’application A de la charge : EI Ql Q Y Q Q W q 27 8 ) 9 / , ( 3 * = = ∂ ∂ = L’allure de la déformée (amplifiée pour des raisons de visibilité) est représentée sur la figure ci-dessus. 3. Comportement élastoplastique 3.1. La limite d’élasticité correspond à la valeur du chargement pour laquelle le moment fléchissant en O atteint le moment limite en flexion négative : l m Q m l Q Q M e e e O 8 / 9 9 / 8 ) ( = → − = − = O A B 4 / m − m − EI ml q e 3 / 2 = l m Q e 8 / 9 = O A B 4 / m − m − EI ml q e 3 / 2 = l m Q e 8 / 9 = 3.2. Les moments fléchissants M ∆ dans la structure isostatique associée étant nuls en O et A, il vient immédiatement : Q l M Q Y B ∆ − = ∆ = ∆ ∆ = ∆ 2 et µ d’où le diagramme des moments fléchissants représenté ci-dessous : 5 A B e Q Q Q − = ∆ Q l M B ∆ − = ∆ 2 EI Ql q 3 3 8 ∆ = ∆ O l q p / ∆ − = ∆θ A B e Q Q Q − = ∆ Q l M B ∆ − = ∆ 2 EI Ql q 3 3 8 ∆ = ∆ O l q p / ∆ − = ∆θ Le calcul de l’énergie élastique de flexion relative au problème isostatique associé donne : 2 3 2 3 2 3 0 2 3 4 d ) ( 2 1 d 2 1 ) ( Q EI l x l-x Q EI x M EI Q W l l l ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ∫ ∫ ∗ d’où en appliquant encore une fois le théorème de Castigliano : Q EI l Q W q ∆ = ∆ = ∆ ∗ 3 8 ) ( d d 3 Il s’ensuit que le tronçon de poutre OA subit durant cette phase une rotation identique à la discontinuité de rotation purement plastique à l’encastrement O (siège d’une rotule plastique), égale à : Q EI l l q p ∆ − = ∆ − = ∆ 3 8 / 2 θ de sorte que la règle d’écoulement plastique est bien vérifiée : 0 , pour 0 3 8 2 = − = ≤ − = O O p M m M Q EI l & & & θ 4. Charge limite et courbe charge-déplacement 4.1. La charge limite est obtenue lorsque le moment à l’encastrement B atteint sa limite en flexion négative : m l m Q l uploads/Ingenierie_Lourd/ controle-2015-corrige-pdf.pdf