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Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 1 LI

Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 1 LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR Parcours Ingénierie des ORGANISATIONS UE Optionnelle 1 – AMPI : Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques COURS 3 : Résistance des matériaux (RDM) SOMMAIRE RESISTANCE DES MATERIAUX ........................................................................................................................ 2 I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES .......................................................................................................... 2 II. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION ........................................................................................... 5 III. EXTENSION - COMPRESSION ............................................................................................................... 8 IV. CISAILLEMENT ...................................................................................................................................... 14 V. MOMENTS QUADRATIQUES ............................................................................................................... 16 VI. TORSION .................................................................................................................................................. 18 VII. FLEXION .................................................................................................................................................. 20 VIII. SOLLICITATIONS COMPOSEES ...................................................................................................... 24 O. CALVET Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 2 RESISTANCE DES MATERIAUX I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES I.1. Buts de la résistance des matériaux La résistance des matériaux a trois objectifs principaux :  la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement sous l’effet d’une action mécanique)  l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture)  l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. I.2. Hypothèses I.2.1. Le matériau  Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour l'étude qui nous intéresse.  Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils, sont identiques.(hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)  Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les mêmes propriétés mécaniques.(hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux composites) I.2.2. La disposition de la matière La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ». Poutre : on appelle poutre (voir fig.1) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne. Les caractéristiques de la poutre sont :  ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure.  section droite (S) constante ou variant progressivement.  grande longueur par rapport aux dimensions transversales.  existence d'un plan de symétrie. G G G (C) Ligne moyenne (S) FIG.1 Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 3 I.2.3. Les forces extérieures  Plan de symétrie : les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan.  Types d'actions mécaniques extérieures : deux types d'actions mécaniques peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig. 2) : Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considérés comme constants. II. PRINCIPE D’ETUDE D’UNE STRUCTURE EN RDM II.1. Régles de schématisation  Poutre  représentée par sa ligne moyenne (oiu fibre de référence)  Actions de liaison  schématisasées par les composantes de réaction  Actions extérieures  schématisées par les forces réparties ou ponctuelles ramenées à la ligne moyenne.  Repère de référence à représenter et report des dimansions « utiles » au calcul. Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 4 II.2. Applications Exemple 2 : Situation réelle Définir le modèle RDM et son schéma associé Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 5 III. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION III.1. Contrainte En chaque point M d’un solide, il existe des efforts intérieures que l’on met en évidence en effectuant ne coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B. La partie A, par exemple, est en équilibre sous l’action des forces intérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la coupure. Considérons un point M de S. Soir dS un élément infinitésimal de la surface S, entourant M et n  le vecteur unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l’extérieur de la partie A. On appelle contrainte en M, relativement à l’élément de surface dS orienté par sa normale extérieure n , le vecteur : dS F d ) n , M ( C     Le vecteur contrainte peut se décomposer en :         n . ) n , M ( C Où  est la contrainte normale et  le vecteur cisaillement. III.2. Efforts de cohésion ou efforts internes Soit une poutre (E) en équilibre sous l'action de n actions extérieures. On associe à cette poutre un repère R (x, y, z) dont l'axe x coïncide avec la ligne moyenne de la poutre. Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal à sa ligne moyenne, situé à l'abscisse x. On définit ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2). X Y Z G x E1 E2 Fig 5 (E) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E} = {0} (E1) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E1} +{E2  E1} = {0} (E2) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E2} +{E1  E2} = {0} On en déduit : {E2  E1} = -{ E  E1} = { E  E2} {E2  E1} est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1). Cette action est due aux efforts de cohésion qui permettent à la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions extérieures. Fig 4 Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 6 La RDM vise en particulier à vérifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohésion à "transmettre" ne soient supérieurs aux capacités du matériau. On note : {Cohésion} = -{ E  E1} = { E  E2} III.3. Composantes du torseur de cohésion Dans le torseur de cohésion, on peut faire apparaître la résultante et le moment qui dépendent de la position de la section (x).          ) x ( M ) x ( R Cohésion G G   III.3.1. la résultante Tz Ty N R R   N : effort normal, projection de R sur la normale extérieure (x).  Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite. III.3.2. Le moment résultant De la même manière, on retrouve pour les moments, 3 composantes :  MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extérieure.  Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de section droite. soit : Mfz Mfy Mt M R G  Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dépendent de la position de la section droite (x). On peut donc représenter leurs évolutions à l’aide de diagrammes. III.3.3. Les sollicitations Suivant les éléments de réduction non-nuls du torseur de cohésion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz ) on peut alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, à savoir : Composantes Sollicitation N > 0 Extension (traction) < 0 Compression Ty Cisaillement Tz Mt Torsion Mfy Flexion Mfz Lorsque l’on a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon on a un problème de sollicitations composées. G N Ty Tz R Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 7 III.4. Relations entre contraintes et composantes du torseur de cohésion III.5. Applications Exemple 1 Le bras [KI] est modélisé par une poutre rectiligne encastrée au point K et supportant l'action du vérin comme l'indique le croquis suivant : 1- Déterminer le torseur de cohésion au point G, distant de x mm de l'origine I. 2- Déterminer la nature des sollicitations dans cette "poutre". 3 -Déterminer la position de la section la plus sollicitée à la flexion simple. Exemple 2 1) Après avoir déterminé les actions de liaison, calculer le torseur de cohésion dans la zone où se trouve le point G. 2) Cette expression est valable sur quel domaine ? 3) Déterminer la nature des sollicitation dans cette poutre. 4) Que signifie E ? Re ? X U V K I G 90 mm 320 N 1120 N I(1314) F = 21 N l = 600 mm b= 20 mm h = 4 mm Matiere : S 340 E = 200 000 Mpa Re = 340 Mpa g R = 0.6 e R s=2 1 2 3 x Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 8 PARTIE 2 : LES SOLLICITATIONS SIMPLES uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-3-rdm.pdf