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Le rayonnement du corps noir Cours de M1, physique statistique quantique Julien

Le rayonnement du corps noir Cours de M1, physique statistique quantique Julien Baglio julien.baglio@ens.fr 23 octobre 2006 R´ esum´ e Cet expos´ e est extrait du cours de physique statistique de Jacques Treiner, dans le cadre du M1 de physique de l’ENS Cachan. Il s’agit d’une courte pr´ esentation de la notion de corps noir, qui contient notamment l’expos´ e de la loi dite de Planck, de la loi de Stefan et de la loi de Wien. Pour compl´ eter cette approche sommaire, se r´ ef´ erer ` a un cours sur le rayonnement thermique (notamment pour la notion de corps gris, d’´ emissivit´ e, etc...) 1 Thermodynamique du corps noir 1.1 Distribution de Bose-Einstein Soit un syst` eme de N bosons ind´ ependants ` a une temp´ erature T donn´ ee. La distribution de Bose-Einstein est la probabilit´ e d’occupation par un boson individuel du niveau quantique individuel d’´ energie E ` a une temp´ erature T donn´ ee, ou encore le nombre moyen d’occupation de ce niveau : f(Ek, T) =< nk >= 1 exp(β(Ek −µ)) −1 (1) avec β = 1 kT , µ potentiel chimique du syst` eme. Ainsi si l’on se place dans la limite continue, f(E, T)ρ(E)dE est le nombre de bosons dans l’´ etat d’´ energie E ` a dE pr` es, ρ(E) ´ etant la densit´ e de niveau ρ(E) = dn dE . Pour trouver cette distribution, on se place dans le grand canonique pour le syst` eme total des N bosons, en se rappelant qu’un syst` eme de N bosons est d´ ecrit par une fonction d’onde sym´ etrique, ce qui signiﬁe notamment que les niveaux individuels peuvent ˆ etre occup´ es par un nombre arbitraire de bosons (dans la limite bien sˆ ur du nombre total de bosons dans le syst` eme). 1.2 Calcul de la densit´ e d’´ energie d’un corps noir On va d’abord donner une d´ eﬁnition du corps noir. 1 D´ eﬁnition 1 Un corps noir est un syst` eme qui absorbe tout le rayonnement ´ electromagn´ etique qu’il re¸ coit, sans rien r´ eﬂ´ echir, et sans perturber son ´ etat d’´ equilibre interne. On comprend bien maintenant l’appelation de ”corps noir” : en eﬀet s’il ne r´ eﬂ´ echit pas la lumi` ere, il apparaˆ ıt noir lorsque il n’´ emet pas. Pour ´ etudier par la suite son spectre d’´ emission, on ´ etudie une boˆ ıte dans laquelle on pratiquera un trou. On quantiﬁe le rayonnement par l’in- term´ ediaire des photons, d’´ energie individuelle E = ℏω et de quantit´ e de mouvement p = ℏk, et on ´ etudiera le rayonnement ´ emis en ´ etudiant le proﬁl de fuite des photons par le trou. On se place donc dans une boˆ ıte quantique de volume V ﬁx´ e, ` a temp´ erature T ﬁx´ ee. Le nombre de photons est une variable interne du syst` eme, que l’on suppose ` a l’´ equilibre. On a donc dans ces conditions dF dN = µ = 0. Les photons ´ etant des bosons (de spin 1), on utilise la statistique de Bose-Einstein. On sait que l’´ energie ` a une particule est quantiﬁ´ ee selon Ek = ℏ2k2 2m o` u k est la norme du vecteur d’onde dans l’espace des phases (on rappelle que kx = 2πl a , l ∈N∗et de mˆ eme suivant y et z, V = abc). On a donc ρ(Ek)dEk = V (2π)3 g4πk2dk (volume dans l’espace des phases divis´ e par le volume ´ el´ ementaire), g = 2 qui rend compte de la polarisation d’un photon (h´ elicit´ e gauche ou h´ elicit´ e droite). L’´ energie individuelle est donn´ ee par ℏck puisque ω = kc, donc on a E = 2V (2π)3 Z 4πℏck3dk exp(βℏck) −1 On eﬀectue le changement de variables x = βℏck, ce qui nous donne E = V (π)2 ℏc (βℏc)4 Z +∞ 0 x3dx ex −1 En eﬀectuant un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de x 7→ 1 1 −e−x et en utilisant les th´ eor` emes d’int´ egration de Lebesgue, on obtient sans diﬃcult´ e Z +∞ 0 x3 ex −1 = π4 15. On a donc E = V π2 15 (kBT)4 (ℏc)3 (2) Pour l’´ energie d’un corps noir de volume V , ` a la temp´ erature T. 1.3 Equation d’´ etat Pour ´ etablir l’´ equation d’´ etat du gaz de photons qui constitue l’int´ erieur du corps noir, on suppose que les chocs des photons sur les parois internes sont ´ elastiques. L’impulsion d’un photon est p = ℏk. 2 Fig. 1 – Collision ´ elastique d’un photon sur une des parois du syst` eme Par sym´ etrie du probl` eme, la direction perpendiculaire ` a la paroi est privil´ egi´ ee, donc on projette sur cette derni` ere. Du fait de l’´ elasticit´ e de la collision l’´ energie est conserv´ ee, et il en est de mˆ eme pour l’impulsion. Ainsi, on a au ﬁnal δp = 2hν c cos θ pour un photon d’incidence θ. On int` egre sur l’incidence, et on compte le nombre de photons frappant dS pendant ∆t pour obtenir la variation d’impulsion totale frappant dS pendant ∆t : ∆p = 1 2 Z π/2 0 2hν cos θ c N V c∆t cos θdS sin θdθ Le coeﬃcient 1/2 est n´ ecessaire aﬁn d’´ eviter de compter en double les photons. On en d´ eduit que dFgaz→paroi = −∆p ∆t n = −1 3 Nhν V dSn (normale dirig´ ee vers la gauche sur le dessin, selon la convention habituelle). Ainsi, on en d´ eduit P = E 3V . On a donc, apr` es utilisation du r´ esultat (2), l’´ equation d’´ etat suivante pour le gaz de photons du corps noir : P = k4 Bπ2 45(ℏc)3 T 4 (3) On constate donc que la pression du corps noir ne d´ epend que de la temp´ erature. 2 Rayonnement du corps noir Pour ´ etablir le proﬁl de rayonnement du corps noir, on pratique, comme dit plus haut, un petit trou de surface dS qui ne perturbe pas l’´ etat d´ equilibre du syst` eme. 3 2.1 Loi de Planck Fig. 2 – Fuite d’un photon par le petit trou pratiqu´ e dans le corps noir On va calculer le ﬂux spectral du corps noir. Le rayonnement est identique par rotation d’angle φ autour de la normale au trou, et l’on a comme ´ energie perdue par unit´ e de fr´ equence pendant dt selon θ : dE = ℏck(ν)(cos θcdtdS)dN(ν) V . On en d´ eduit que le ﬂux ´ el´ ementaire par unit´ e de fr´ equence selon θ est d2Φ = ℏc2k(ν) cos θdN(ν) V . Or selon la section 1, on a en utilisant la distribution de Bose-Einstein : dN(ν) = 2V (2π)3 k2(ν) exp(βℏck) −1 sin θdθdkdφ Pour calculer le ﬂux spectral, on int` egre alors sur θ et φ, et on ´ ecrit k = 2πν c . L’int´ egration se fait sur θ ∈[0; π/2] puisque le rayonnement est selon un demi-plan, et l’on obtient au ﬁnal : dΦ = 2ℏc2 (2π)3 (2π)3ν3 c3 2πdν c 2π 2(exp(βℏ2πν) −1) On en d´ eduit la loi de Planck : Th´ eor` eme 1 (Loi de Planck) L’´ emittence monochromatique du corps noir ne d´ epend que de la temp´ erature de ce corps, et sa loi est donn´ ee par (avec β = kBT) dΦ dν = 2πhν3 c2(exp(βhν) −1) (4) 4 2.2 Loi de Stefan On peut maintenant d´ eterminer sans aucune diﬃcult´ e la loi de Stefan, qui relie le ﬂux total ´ emis par le corps noir et sa temp´ erature. Pour le calculer, on peut soit le faire ` a partir de la loi de Planck, en int´ egrant sur toutes les fr´ equences possibles, soit reprendre le calcul en k et l’on constate alors que l’on a en fait Φtot = c 4 E V en comparant au calcul fait dans la premi` ere section. On utilise alors le r´ esultat (2), et l’on obtient : Th´ eor` eme 2 (Loi de Stefan) Le ﬂux total rayonn´ e par un corps noir ne d´ epend que de sa temp´ erature, selon la loi Φtot = σT 4 (5) avec σ = π2k4 B 60ℏ3c2 = 5, 67.10−8 W.m−2.K−4 constante de Stefan-Boltzmann 2.3 Loi de Wien On termine ce petit expos´ e par la loi de Wien, qui relie le maximum d’´ emission en longueur d’onde avec la temp´ erature du corps noir. En eﬀet, ces deux grandeurs sont inversement propor- tionnelles, comme nous allons le voir. On utilise la loi de Planck (4), que l’on exprime en terme de longueur d’onde. On a λν = c donc dν = c λ2 dλ (le signe n’a aucune importance, si ce n’est de changer les bornes d’int´ egration) ; on peut r´ e´ ecrire la loi de Planck en uploads/Ingenierie_Lourd/ corps-noir.pdf