Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Corrig´ e du Contrˆ ole d’Alg` ebre I SMPC - Session d’Automne 2019-2020 Exerci

Corrig´ e du Contrˆ ole d’Alg` ebre I SMPC - Session d’Automne 2019-2020 Exercice 1 (6 pts) 1. (a) P(1) = P ′(1) = 0 et P ′′(1) ̸= 0 donc 1 est une racine double de P. (b) Puisque 1 est racine double de P celui-ci est divisible par (X −1)2. La division euclidienne donne P = (X −1)2(X2 −2X + 2). Pour trouver les deux autres racines (qui sont conjugu´ ees) il suﬃt de r´ esoudre l’´ equation X2 −2X + 2 = 0 ce qui donne comme racines 1 + i et 1 −i. (c) P ∧Q = X2 −2X + 2. 2. On passe au module dans l’´ equation ce qui donne |¯ z|8 = 1 |z|2 d’o` u |z| = 1. On en d´ eduit que ¯ z = 1 z. L’´ equation devient donc z8 = z2 ou encore z6 = 1. Ainsi, les solutions sont les racines 6i` emes de l’unit´ e : −1, 1, j, ¯ j, −j, −¯ j o` u j = e 2iπ 3 . En eﬀet, il est clair que 1 et j (la racine cubique de l’unit´ e) sont des racines de X6 −1. Il suﬃt de remarquer la parit´ e du degr´ e de ce polynˆ ome et le fait qu’il est ` a coeﬃcients r´ eels. Donc si λ est racine λ et −λ le sont aussi. Ainsi, ±1, ±j, ±¯ j sont les six racines recherch´ ees. 3. Dans C, P = (X −1)(X + 1)(X −j)(X −¯ j)(X + j)(X + ¯ j) Dans R, P = (X −1)(X + 1)(X2 + 2 cos(2π 3 )X + 1)(X2 −2 cos( 2π 3 )X + 1), = (X −1)(X + 1)(X2 + X + 1)(X2 −X + 1). Exercice 2 (4 pts) 1. G = X3 + 1 X(X −1)2 = e + a X + b X −1 + c (X −1)2. (e est la partie enti` ere de G) Les coeﬃcients sont donn´ es par e = 1, a = 1, b = 1, c = 2. 2. (a) 1 + X = (1 + X −X2)(1 + X2) + X3(−1 + X). (b) F = (1 + X −X2)(1 + X2) + X3(−1 + X) X3(X2 + 1) = −1 X + 1 X2 + 1 X3 + X −1 X2 + 1. Exercice 3 (6 pts) A(0, 1), B(1, 2), C(2, 1) et D(1, 0). 1. − → AB = − − → DC. ABCD est un parall´ elogramme. 2. A (ABCD) = | det(− → AB, − − → AC)| = 1 2 1 0 = 2. 3. Eq. param´ etrique de (AB) : x = λ, y = 1 + λ, λ ∈R Eq. cart´ esienne de (AB) : x −y = −1. 4. Le projet´ e orthogonal H de O sur (AB) v´ eriﬁe : H ∈(AB) et − − → OH = α− → n o` u − → n est un vecteur normale ` a (AB). Pour − → n = (1, −1) on a H = (α, −α) ∈(AB). Donc α = −1/2 et H = (−1/2, 1/2). Les coordonn´ ees polaires de H sont donn´ ees par rH = OH = √ 2 2 et θH = 3π 4 . 5. dist(O, AB) = OH = √ 2 2 . 6. Equation polaire de (AB) : r = OH cos(θ −θH) = √ 2 2 cos(θ −3π 4 ). Exercice 4 (4 pts) 1. La sph` ere Σ a pour ´ equation (x −1)2 + y2 + (z −2)2 = 9. Donc, Ω= (1, 0, 2) et R = 3. 2. Soit M(x, y, z) un point de l’espace E . M appartient au plan tangent ` a Σ au point M0(1, 0, 5) ssi < − − → MM 0, − − → ΩM 0 >= 0, ce qui donne l’´ equation : z = 5. 3. Soit la droite D d´ eﬁnie par x −y −1 = 0, y −z + 5 = 0. Si on choisit, par exemple, y comme param` etre on a l’´ equation param´ etrique    x = 1 + λ, y = λ, z = 5 + λ. 4. Soit Mλ = (1 + λ, λ, 5 + λ) ∈D. Le point Mλ ∈Σ ssi 2λ2 + (λ + 3)2 = 9 ssi λ = 0 ou −2. Ainsi, D ∩Σ = {(1, 0, 5), (−1, −2, 3)}. 2 uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-a19.pdf