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Notes de cours de Probabilit´ es Appliqu´ ees Olivier Fran¸ cois 2 Table des ma

Notes de cours de Probabilit´ es Appliqu´ ees Olivier Fran¸ cois 2 Table des mati` eres 1 Axiomes des probabilit´ es 7 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 D´ eﬁnitions et notions ´ el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Op´ erations sur les ´ ev´ enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Axiomes des probabilit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Mesure de probabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Quelques cons´ equences des axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Passage ` a la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Variables al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Simulation et probabilit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Probabilit´ es conditionnelles. Ind´ ependance 19 2.1 Probabilit´ es conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Quelques propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Ind´ ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Epreuves ind´ ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Variables al´ eatoires de loi g´ eom´ etrique . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4 Variables al´ eatoires de loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.5 Probabilit´ e conditionnelle et rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Variables al´ eatoires r´ eelles 31 3.1 Loi d’une variable al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Quelques exemples de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Lois discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Loi ` a densit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.3 Exemples de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 M´ ethode par inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.3 M´ ethode de conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.4 Superposition de variables al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 4 TABLE DES MATI` ERES 3.4 Moments et in´ egalit´ es. Ind´ ependance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.1 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.3 In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Chebishev . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.4 Autres in´ egalit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Transform´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.1 Fonctions g´ en´ eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.2 Fonctions caract´ eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5.3 Transform´ ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Couples et conditionnement 61 4.1 Couples de variables al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Lois conjointes discr` etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1.2 Couples de variables ` a densit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.3 Ind´ ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.4 Variables al´ eatoires ind´ ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.5 Sommes de variables al´ eatoires ind´ ependantes . . . . . . . . . . 67 4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Variables ` a densit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.3 Autres cas de lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-de-probabilite-pdf.pdf