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Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Al

Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 1 Contenu de la matière: Chapitre 1 : Introduction, Rappel mathématique (2 semaines) Calcul vectoriel, calcul tensoriel. Chapitre 2: Tenseur des contraintes (4 semaines) Coupure, facette et vecteur contrainte, Formule de Cauchy, tenseur des contraintes, Equations d’équilibre, Contraintes principales et directions principales, Invariants scalaires du tenseur des contraintes, Tenseur sphérique et déviateur. Chapitre 3 : Tenseurs des déformations (4 semaines) Vecteur de déplacement, Tenseur des déformations, Transformation des longueurs et des angles, Déformations principales, Invariants scalaires du tenseur des déformations, Tenseur sphérique et déviateur. Chapitre 4 : Lois de Hooke (Relations contraintes – déformations) (4 semaines) Formulation en contraintes, Formulation en déformations, Formulation Thermo- élastique. Chapitre 5 : Critères de résistance (1 semaine) Critère de la contrainte normale maximale (critère de Rankine), Critère du Cisaillement maximale (critère de Tresca), Critère de Von Mises. Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 2 [1]: "Elasticité" Notes de cours, 2017 – 2018, Florence Elias, univ-paris-diderot.fr. [2]: Mécanique du point matériel, Rappel sur le calcul vectoriel, Fatima BOUYAHIA, ENSA MARRAKECH, Maroc [3]: Elasticité, Yves Debard, Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique, 2011. [4]: Résistance des matériaux ,Notions d'élasticité, Collection Technologie et université , A. Giet et L. Geminard, Dunod , Paris : 1968. [5]: Mecanique des Solide, Elasticité, A. Alliche, Université Pierre et Marie Curie, Curie,Paris 6. Elasticité Dr. Ali Debih Faculté de Technologie de M'sila Département Génie Mécanique 2018-2019 Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 3 Chapitre. I. Introduction et rappel mathématique I.1. Introduction Rappelons qu'en mécanique du solide les grandeurs de base sont les forces et les déplacements, qui permettent de calculer directement des énergies. En mécanique des milieux continus, il est de même, mais on travaille avec des grandeurs normalisées. Pour simplifier disons que les contraintes sont des forces par unité de surface et les déformations sont des variations de longueurs par unité de longueur. On definit l'elasticite par: Mécanique des corps solides déformables (par opposition à la mécanique du point ou des corps indéformables). La mécanique étudie la réponse d'un corps solide à des forces ou moments appliques. On note que pour les milieux visco-elastiques, on parle aussi de rhéologie : leur réponse à des forces / moments / pressions appliquées); Forces ou moments (contraintes) qui s'exercent sur un objet fait d'un matériau donne, de forme donnée et de volume donne →translation, rotation, déformation (changement de forme et de volume). La mécanique du point ou du solide indéformable étudié la translation et la rotation, l'élasticité s'intéresse exclusivement à la déformation. I.2. Le but de l'élasticité • Stabilité des structures mécaniques 1- Pour la construction de ponts, routes, structures en béton (immeubles ...) → forme d'un profilé, taille maximale d'un immeuble, ... , 2-Fibres, tissus synthétiques, ... (peau (artificielle ?)) • La géométrie est importante. 1-Exemple des poutres profilées utilisées dans le bâtiment, 2-Exemple du caoutchouc = un élastomère préparé en tubes, en rubans, en fines pellicules (vernis, sols), en câbles, en tissus, ... • Fluides viscoélastiques : modification de la rhéologie des matériaux complexes par rapport à celle des fluides simples 1-Solutions de polymères, gels, caoutchoucs, pâtes, poudres, sables, cristaux liquides, [1] I.3. Rappels mathématiques [ 2] I.3. 1.Calcul vectoriel Dans le cadre de ce chapitre, nous allons rapporter quelques notions de bases liées au calcul vectoriel. La maitrise de ces techniques est nécessaire pour l'assimilation de la mécanique. I.3.1.1. Scalaire et vecteur Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre est une unité. (temps, température, masse, énergie, volume, … etc) Un vecteur est une entité mathématique définie par une origine, une direction, un sens et une intensité : Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 4 • L’origine : le point d'application • La direction : la droite qui porte le vecteur. Elle est définie par l'angle θ mesuré entre un axe de référence et le support. • Le sens représente l'orientation origine-extrémité du vecteur et est symbolisé par une flèche. • L’intensité, norme ou module, représente la valeur de la grandeur mesurée par le vecteur. Notion de vecteur unitaire: A chaque vecteur on peut associer un vecteur unitaire qui a la même direction et de norme égale à 1. On obtient le vecteur unitaire en divisant le vecteur initial par son module : ║ݑ ሬ⃗║= ஺ ⃗ ║஺║ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ Notion de vecteur lié et vecteur glissant : a) les vecteurs liés sont notés ࢜(࡭) ሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ l’origine A est fixé ; b) Si le point d’application se déplace sur la droite, le vecteur est dit vecteur glissant. I.3.1.2. Repère de l’espace affine: Ε Désigne l'espace affine réel de dimension 3. Les éléments de Ε sont des points que l'on note : A, B, M, N, …etc. D'autre part Ԑ désigne l'espace vectoriel attaché à Ε, ses éléments ݑ ሬ ሬ ሬ⃗, ݒ ⃗, ܣܤ ሬሬሬሬሬ⃗, … etc Nous considérons comme acquises les notions de repère affine de E associé à l'espace vectoriel Ԑ. Un tel repère sera noté R (O,݁ ⃗1, ݁2 ሬሬሬሬ⃗, ݁3 ሬሬሬሬ⃗ ) ou O est un point de l'espace affine Ε pris comme origine et e= (݁1 ሬሬሬሬ⃗, ݁2 ሬሬሬሬ⃗, ݁3 ሬሬሬሬ⃗ ) est une base de l'espace des vecteurs libres. (un vecteur libre est un vecteur qui définit une direction dans l'espace ∀ݑ ሬ⃗ ∈ Ԑ ∃ (x,y,z) ∈ R3 tel que ݑ ሬ⃗ = x ݁1 ሬሬሬሬ⃗+ y݁2 ሬሬሬሬ⃗ + z݁3 ሬሬሬሬ⃗ Représentation du repère R (O,ଓ ⃗, ଔ ⃗, ݇ ሬ ⃗ ) de l’espace affine [2]. Ce repère est une base orthogonale : les vecteurs libres de la base portés dans l'espace à partir de l'origine O du repère forment un trièdre trirectangulaire direct. Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 5 I.4. Opérations sur les vecteurs Soit ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗, ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗et ܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗ trois vecteurs de l’espace vectoriel Ԑ. Avec : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ = xA ଓ ⃗+ yA ଔ ⃗ + zA݇ ሬ ⃗ ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ = xB ଓ ⃗+ yB ଔ ⃗ + zB݇ ሬ ⃗ ܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗ = xC ଓ ⃗+ yC ଔ ⃗ + zC݇ ሬ ⃗ I.4.1. Somme et multiplication par un scalaire [2]. • La somme de deux vecteurs : ܫ ⃗= ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ = (xA+ xB ) ଓ ⃗+ (yA+ yB ) ଔ ⃗ + (zA+ zB )݇ ሬ ⃗ • La multiplication par un scalaire : ∀ݑ ሬ⃗ ∈ R, existe μ tel que ݑ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗= μ xA ଓ ⃗ +μ yA ଔ ⃗ + μ zA ݇ ሬ ⃗ I.4.2. Produit scalaire • Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le nombre réel OA.OB.cos(θ) si l'angle θ désigne celui de AOB. Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition prend la forme suivante : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ݔܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗= ܱܣݔܱܤݔ ܥ݋ݏ  • Propriétés du produit scalaire : 1) Commutativité : Le produit scalaire est commutatif : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ݔܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗= ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ݔܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ Jusitification Cos θ = Cos (− θ) 2) Distributivité par rapport à l’addition : Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ݔ൫ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗൯= ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ݔܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ݔܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗ Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 6 3) Conséquence : Si ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ≠ 0 ሬ⃗ et ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ ≠ 0 ሬ⃗ alors ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ࢞ ܱܤ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗= 0 ⇔ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ⏊ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perpendicularité géométrique lorsqu'il est de valeur nulle. 4) Expression analytique : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ࢞ ܱܤ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗=xA xB+ yA yB + zA zB I.4.3. Produit vectoriel [2]. Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA.OB. sin(θ) - Une direction perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs OA et OB - Un sens défini par la règle de la main droite ou de la progression du tire-bouchon qui envoi ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ sur ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗. On note ⃦ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ∧ ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ ⃦ = OA . OB. Sin θ • Propriétés du produit vectoriel : 1) Commutativité : Le produit vectoriel est anticommutatif : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗∧ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗= −ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗∧ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ Justification Sin θ = − Sin (−θ) 2) Distributivité par rapport à l’addition : Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition : ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗∧൫ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗൯= ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗∧ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗∧ܱܥ ሬሬሬሬሬ⃗ 3) Interprétation géométrique du produit vectoriel : Le module de ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗∧ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ est donné par OA. OB. Sin θ qui représente l'aire (surface) du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. 4) Conséquence : Si ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ≠ 0 ሬ⃗ et ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ ≠ 0 ሬ⃗ alors ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ ∧ ܱܤ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗= 0 ⇔ ܱܣ ሬሬሬሬሬ⃗ //ܱܤ ሬሬሬሬሬ⃗ Cours "Elasticité", L3Construction mécanique, Université de M'sila Dr: Debih Ali 7 5) Expression analytique : I.4.4. Produit uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-elasticite-debih-pdf.pdf