Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI FONCTIONS DE DEUX VARIABLES Dans to

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI FONCTIONS DE DEUX VARIABLES Dans tout ce chapitre, R2 et R3 sont munis de leur structure euclidienne canonique. On identifiera R2 au plan d’équation z = 0 de R3, ce qui revient à identifier tout couple (x, y) de R2 au triplet (x, y,0) de R3. On notera #” ı , #”   la base canonique de R2 et #” ı , #” , #” k  celle de R3, et enfin O le point (0,0) ou (0,0,0). 1 GRAPHE D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES Nous avons l’habitude de représenter toute fonction f : R −→R comme une courbe dans le plan R2, précisément la courbe d’équation y = f (x). Une fonction f : R2 −→R sera quant à elle représentée comme la surface d’équation z = f (x, y). Intéressons-nous par exemple à la fonction (x, y) f 7−→x2 + sin(3y). Pour construire son graphe S , on étudie souvent son intersection avec une collection de plans parallèles qui balaient l’espace R3 tout entier. Ainsi, pour tout λ ∈R : — l’intersection de S et du plan d’équation x = λ est la courbe d’équation z = λ2 + sin(3y) dans ce plan, — l’intersection de S et du plan d’équation y = λ est la courbe d’équation z = x2 + sin(3λ) dans ce plan, — l’intersection de S et du plan d’équation z = λ est la courbe d’équation x2 + sin(3y) = λ dans ce plan et on l’appelle la ligne de niveau λ de f . −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 10 x y Intersection de S avec x = −3 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 10 x y Intersection de S avec y = 3 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 10 x y Intersection de S avec z = 10 Faites l’effort de réfléchir en les mêmes termes aux exemples qui suivent et assurez-vous que vous les comprenez bien. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI −2 0 2 −2 0 2 0 2 4 x y z = p x2 + y2 −2 0 2 −2 0 2 0 10 x y z = x2 + y2 −2 0 2 −2 0 2 −10 0 10 x y z = x2 −y2 −5 0 5 −5 0 5 −2 0 2 x y z = sin x + sin y −5 0 5 −5 0 5 −2 0 2 x y z = sin x −2 0 2 −2 0 2 0 5 x y z = 1 |x| + 1 |y| 2 RUDIMENTS DE TOPOLOGIE DANS R2 On introduit brièvement dans ce paragraphe, et sans s’apesantir sur les preuves, quelques notions topologiques simples dont nous aurons besoin ensuite. 2.1 VOISINAGES ET OUVERTS Pour tous A ∈R2 et r > 0, on appelle : — boule ouverte de centre A et de rayon r l’ensemble B(A, r) = ¦ M ∈R2 | AM < r © , b A r B(A, r) — boule fermée de centre Aet de rayon r l’ensemble B(A, r) = ¦ M ∈R2 | AM ⩽r © . b A r B(A, r) Dans le plan R2, on gagnerait bien sûr à parler de disques et de cercles, mais la théorie développée dans ce chapitre s’étend sans difficulté majeure à Rn pour tout n ⩾3, alors autant parler tout de suite de boules et de sphères. La définition qui suit ne devrait pas trop vous dépayser. Définition (Voisinage d’un point) Soit A ∈R2. On appelle voisinage de A toute partie de R2 contenant une boule ouverte de centre A. On notera dans ce cours VA R2 l’ensemble des voisinages de A. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition-théorème (Ouvert) Soit Ωune partie de R2. On dit que Ωest (un) ouvert si : Ω b b b ∀A ∈Ω, ∃r > 0, B(A, r) ⊂Ω, autrement dit si Ωest un voisinage de chacun de ses points. Exemples d’ouverts : (i) Toute boule ouverte est un ouvert. (ii) Le complémentaire de toute boule fermée est un ouvert. En particulier, R2 \  A est un ouvert pour tout A ∈R2. (iii) Tout produit de deux intervalles ouverts est un ouvert. Démonstration Les assertions (i), (ii) et (iii) se prouvent de la même manière. On se donne un point A dans l’ouvert candidat Ωétudié et on cherche un réel r > 0 pour lequel B(A, r) ⊂Ω. Je me contenterai ici d’une preuve graphique, mais au fond tout y est. b b B A ρ r 2r Ici r = ρ −AB 2 . b b B A ρ r 2r Ici r = AB −ρ 2 . b A r ρ ρ′ Ici r = min  ρ,ρ′ . 2.2 LIMITES ET CONTINUITÉ Définition (Limite (finie) en un point) Soient D une partie de R2, f : D −→R une fonction, A ∈D et ℓ∈R. On dit que f admet ℓpour limite en A si : ∀Vℓ∈Vℓ(R), ∃VA ∈VA R2 , ∀M ∈D ∩VA, f (M) ∈Vℓ, i.e. si : ∀ǫ > 0, ∃α > 0, ∀M ∈D, AM < α =⇒ f (M) −ℓ < ǫ. La plupart des résultats qu’on a démontrés pour les fonctions de R dans R sont conservés : unicité et notation lim M→A f (M) ou lim A f , caractère localement borné, opérations (combinaison linéaire, produit, inverse, composition avec une fonction de R dans R), interaction avec les inégalités larges/strictes, théorème d’encadrement... Les preuves sont faciles à faire, il suffit de remplacer les valeurs absolues dans l’ensemble de départ par des distances dans R2. On aurait pu définir aussi des limites de valeur +∞ou −∞, mais nous n’en aurons pas dans ce chapitre. $ Attention ! Faire tendre M = (x, y) vers A = (xA, yA) ne revient pas à faire tendre x vers xA puis y vers yA ou le contraire. Le point M peut se rapprocher de A de bien des manières, il n’est pas obligé d’y aller en ligne droite selon #” ı ou #” . Intéressons-nous par exemple à la fonction (x, y) f 7−→ 2x y x2 + y2 sur R2 \  (0,0) . Clairement : lim x→0 lim y→0 2x y x2 + y2 = lim x→00 = 0 et lim y→0 lim x→0 2x y x2 + y2 = lim y→00 = 0, mais nous allons voir que f N’a PAS de limite en (0,0). Cela se visualise assez bien, mais cela se montre aussi assez bien en coordonnées polaires (r,θ). Tout point M = (x, y) de R2 peut être écrit sous la forme (r cosθ, r sinθ) pour un certain (r,θ) ∈R+ × R dit couple de coordonnées polaires de M. Par 2π-périodicité du cosinus et du sinus, un tel couple n’est pas jamais unique, attention ! Trois re- lations méritent d’être parfaitement comprises : x = r cosθ, y = r sinθ et r = p x2 + y2. Le point (0,0) a la particularité d’admettre le couple (0,θ) pour coordonnées polaires pour tout θ ∈R. −5 0 5 −5 0 5 −1 0 1 x y 3 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Mais revenons à notre exemple. Pour tout (x, y) ∈R2 \  (0,0) de coordonnées polaires (r,θ) : f (x, y) = 2x y x2 + y2 = 2 × r cosθ × r sinθ r2 = sin(2θ), donc f NE dépend QUE de la variable θ. Par conséquent, si (x, y) tend vers (0,0) en maintenant constant l’angle θ, f (x, y) tend vers le réel sin(2θ) pour ce θ fixé. On obtient ainsi des limites différentes selon la manière dont on fait tendre (x, y) vers (0,0), donc en effet, f n’a pas de limite en (0,0). La figure ci-dessus illustre bien l’indépendance de f vis-à-vis de r. Son graphe peut être construit comme un « faisceau tournant » de demi-droites orthogonales à l’axe Vect #” k  . Définition (Continuité en un point ou sur une partie) Soient D une partie de R2, f : D −→R une fonction et A ∈D. On dit que f est continue en A si lim M→A f (M) = f (A), i.e. si : ∀ǫ > 0, ∃α > 0, ∀M ∈D, AM < α =⇒ f (M) −f (A) < ǫ. L’ensemble des fonctions sur D et à valeurs dans R, i.e. continues en tout point de D, est noté C (D,R). Toute combinaison linéaire de fonctions continues est une fonction continue. Même chose avec le produit, l’inverse et la composition avec une fonction de R dans R. $ Attention ! Pour montrer qu’une fonction de DEUX variables (x, y) 7−→f (x, y) est continue en A = (xA, yA), il ne suffit pas de montrer que les fonctions d’UNE variable x 7−→f (x, yA) et y 7−→f (xA, y) sont continues respectivement en xA et yA. De nouveau, uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-fonctions-de-deux-variables.pdf

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