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Statistique inférentielle : méthodes. Par Dr Moussa BAGAYOGO Master/IUFIC Unive

Statistique inférentielle : méthodes. Par Dr Moussa BAGAYOGO Master/IUFIC Université Thomas Sankara Mai 2021 Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 1 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale 7 Test relatifs à une moyenne Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale 7 Test relatifs à une moyenne 8 Test relatif à une fréquence Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale 7 Test relatifs à une moyenne 8 Test relatif à une fréquence 9 Test de comparaison de deux populations Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 2 / 113 Introduction Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale 7 Test relatifs à une moyenne 8 Test relatif à une fréquence 9 Test de comparaison de deux populations Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 3 / 113 Introduction Quelques problèmes 1 Un fabricant souhaite vériﬁer la qualité des ampoules électriques produites par une nouvelle chaîne de production. Il faut donc évaluer la durée moyenne de fonctionnement des ampoules. Comment évaluer cette durée moyenne ? On ne peut pas tester toutes les ampoules ! Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 4 / 113 Introduction Quelques problèmes 1 Un fabricant souhaite vériﬁer la qualité des ampoules électriques produites par une nouvelle chaîne de production. Il faut donc évaluer la durée moyenne de fonctionnement des ampoules. Comment évaluer cette durée moyenne ? On ne peut pas tester toutes les ampoules ! 2 Le responsable d’un parti politique souhaite estimer la proportion des militants favorables à la candidature de Mr X pour la prochaine élection présidentielle. Comment calculer la popularité d’un candidat au sein d’une population ? Interroger tous les militants est trop coûteux. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 4 / 113 Introduction Population & Échantillon Déﬁnition La population : l’ensemble de tous les éléments considérés dans une étude. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 5 / 113 Introduction Population & Échantillon Déﬁnition La population : l’ensemble de tous les éléments considérés dans une étude. Déﬁnition L’échantillon est un sous ensemble ﬁni de la population. La taille de l’échantillon est le nombre d’éléments sélectionnés pour constituer l’échantillon. Le but de l’inférence statistique. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 5 / 113 Introduction Population & Échantillon Déﬁnition La population : l’ensemble de tous les éléments considérés dans une étude. Déﬁnition L’échantillon est un sous ensemble ﬁni de la population. La taille de l’échantillon est le nombre d’éléments sélectionnés pour constituer l’échantillon. Le but de l’inférence statistique. Tirer des conclusions concernant certaines caractéristiques de la population à partir des informations contenues dans l’échantillon. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 5 / 113 Introduction Pour résumer Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 6 / 113 Introduction Retour aux exemples 1 Le fabricant d’ampoules. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 7 / 113 Introduction Retour aux exemples 1 Le fabricant d’ampoules. Il prélève un échantillon constitué de 130 ampoules. Pour chaque ampoule, il mesure la durée de fonctionnement. La moyenne de l’échantillon vaut 36 000 heures. Une estimation pour la population est 36 000 heures. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 7 / 113 Introduction Retour aux exemples 1 Le fabricant d’ampoules. Il prélève un échantillon constitué de 130 ampoules. Pour chaque ampoule, il mesure la durée de fonctionnement. La moyenne de l’échantillon vaut 36 000 heures. Une estimation pour la population est 36 000 heures. 2 Le responsable du parti. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 7 / 113 Introduction Retour aux exemples 1 Le fabricant d’ampoules. Il prélève un échantillon constitué de 130 ampoules. Pour chaque ampoule, il mesure la durée de fonctionnement. La moyenne de l’échantillon vaut 36 000 heures. Une estimation pour la population est 36 000 heures. 2 Le responsable du parti. Il constitue un échantillon de taille 400. Parmi les personnes sélectionnées, 250 sont favorables au candidat proposé. Une estimation de la proportion de la population favorable à Mr X est 250/400 = 0.625 Quelle est la qualité de ces deux estimations ? Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 7 / 113 Rappels Plan de l’exposé 1 Introduction 2 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire continue 3 Méthode des sondages 4 Distribution d’échantillonnage Échantillonnage des moyennes Échantillonnage des proportions 5 Estimation : Sondage aléatoire simple 6 Estimation : Sondage stratiﬁé Cas général Plan avec allocation proportionnelle Plan avec allocation optimale 7 Test relatifs à une moyenne 8 Test relatif à une fréquence 9 Test de comparaison de deux populations Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 8 / 113 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire discrètes Une variable aléatoire discrète prend un nombre au plus dénombrable de valeurs. L’ensemble des valeurs prises par X peut donc s’écrire de la forme {xi, i ∈E} où E est un sous ensemble de N. Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 9 / 113 Rappels Variable aléatoire discrètes Variable aléatoire discrètes Une variable aléatoire discrète prend un nombre au plus dénombrable de valeurs. L’ensemble des valeurs prises par X peut donc s’écrire de la forme {xi, i ∈E} où E est un sous ensemble de N. La loi de la variable aléatoire X est la suite des probabilités pk = P(X = k) pour tout k ∈E L’espérance (moyenne) de X : E(X) = X k∈E pkxk La variance de X : Var(X) = X k∈E pkx2 k −  X k∈E pkxk   Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 9 / 113 Rappels Variable aléatoire discrètes Un exemple de loi discrète : la loi Binomiale Épreuve de Bernoulli • On appelle épreuve de Bernoulli, toute épreuve à deux éventualités. • L’une des éventualités est appelée succès de probabilité notée p et l’autre est appelée échec de probabilité notée q avec q = 1−p. Épreuve de Bernoulli • On considère , n(n ≥2) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. • Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenu sur les n épreuves, • alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p. • On note X ⇝B(n;p). Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 10 / 113 Rappels Variable aléatoire discrètes Loi discrète Loi de probabilité d’une loi binomiale • Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. • Alors la loi de probabilité de X est donnée par : P(X = k) = Ck n pk (1−p)n−k, k ∈{0, 1, 2,··· ,n} avec Ck n = n! k!(n −k)!, n! = n ×(n −1)×(n −2)×···×1 Dr M. BAGAYOGO (CUP-Kaya) Master 2020-2021 Mai 2021 11 / 113 Rappels Variable aléatoire discrètes Loi discrète uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-master-fqgr-iufic-20-21.pdf