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Chapitre I I Structures de poutres II - Structures de poutres Au cours de ces d

Chapitre I I Structures de poutres II - Structures de poutres Au cours de ces deux à trois dernières décennies, les outils d'analyse disponibles pour l'ingénieur se sont modifiés et accrus, surtout ceux utilisant les méthodes numériques informatisées pour la modélisation géométrique et la simulation du comportement. [7] Argyris publie en 1955 une approche unifiée de la méthode des forces et des déplacements. En 1956, Turner et Clough publient une présentation systématique de la méthode des déplacements. Des éléments de membrane, de coque, de volume sont ensuite développés et des ouvrages de référence édités: Zienkiewicz (1967), Gallagher (1975), Bathe et Wilson (1976), Dhatt et Touzot (1984), Hugues (1987), Batozet Dhatt (1990, 1992). Dans le domaine de calcul des structures discrétisées, ce sont les mécaniciens qui ont utilisé en premier les méthodes matricielles, et plus particulièrement la Méthode des Eléments Finis (M.E.F.), pour l'analyse d'assemblages de poutres. A - Treillis plan de barres Dans ce qui suit, ne sont mises en évidence que les notions importantes utiles à la compréhension du reste de l'exposé. Se reporter à l'annexe ïï pour les autres détails. 1 - Exemple Soit une structure plane constituée de 2 barres articulées à leurs extrémités équilibrant un effort extérieur d'origine non précisée. Les deux éléments finis sont les deux barres connectées entre elles et au support par l'intermédiaire "d'objets" appelés nœuds. Ici, on peut imaginer ces nœuds comme des axes connectant les éléments. Les efforts extérieurs connus sont appliqués sur ces nœuds et les liaisons imposées le sont aussi au niveau des nœuds. © [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés. Chapitre II Structures de poutres L'étude statique en élasticité linéaire consiste, connaissant les caractéristiques des éléments-barres (matériau, section) et la géométrie de la structure, à calculer : - les déplacements des nœuds non liés au support; - les efforts de liaison exercés par le support sur les nœuds concernés; - les contraintes dans les barres. 2 - Matrice de rigidité Un élément est caractérisé par une matrice de rigidité (ou de raideur) reliant les efforts exercés par les nœuds (ici i et j) aux déplacements de ces nœuds. [8] Base locale à l'élément (f - n - 2) Base globale à la structure ïi\^' /v ^ /,f /\ •"'"/'. / F X j />Û TKNI/isL uU/^ UJ FYit// ,'</^ \y E.S.L '/^ \^ UYif^^ 1 Vl' Y FXi V\ y »A t Yt UXi V^ X yv-x Lx Lx "Nil [E.S/L 0 -E.S/L 0~| fui] r- -, r- - -.r- -, Ti 0 0 0 0 Vi 5=*. = S- "<! . S- Fe=Ke.Ue N] = -E.S/L o E.S/L o x ^ LFHeJ \*\*Ï\W fr-n-i, Tj 0 0 0 0 vi ^e = F du noeud 'sur '' élément e : barre i - j Pour effectuer des opérations matricielles, un changement de base est effectué afin que la relation précédente soit exprimée en base globale. Chaque sous-matrice devient : KJ:^ Rjj.Kjj.Rjj R:: = ~—- = —-——-— . —- Fp = Kp.Up (r-II-2) IJ IJ u IJ L-sina cosaJ LFHeJ LKJ' I KJjJLUJj Pour cette structure plane, a est l'angle entre l'axe X (global) et l'axe x (local). 3 - Assemblage A l'équilibre du nœud 1 de la structure précédente, correspond l'équation matricielle : Fext->i - F^ + F^ et donc : F^ = F, = [^ + K^j.U, -h KÎ2.U2 + K*3.U3 Ces relations, pour tous les nœuds, correspondent à l'opération d'assemblage : F, K^ + K^ K12 K13 U-j F2 = K21 K22 - U2 <r> F = K.U : pour la structure complète, (r-n-3) F if ii if ii § e L. 3J L 31 33J LU3> II-2 © [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés. Chapitre II Structures de poutres 4 - Résolution On remarque qu'il y a autant d'équations que d'inconnues, sachant que dans U, les inconnues de déplacements sont: Uxi et UY1 et dans F, celles d'efforts sont: FX2, FY2, FX3, FY3. Les déplacements sont calculés en premier, d'où la désignation : "méthode des dépla- cements". La connaissance de tous les déplacements permet le calcul des efforts de liaison puis le calcul des contraintes dans chaque élément. Remarque Les matrices K et Ke sont symétriques et, moyennant une numérotation appropriée des nœuds, K prend la forme d'une "matrice-bande". B - Ossature plane de poutres Dans ce qui suit, ne sont mises en évidence que les notions jugées utiles pour la suite de l'exposé. Se reporter à l'annexe n pour d'autres détails. 1 - Matrice de rigidité Comme précédemment et pour tous les éléments suivants, elle relie les efforts exercés par les nœuds sur l'élément considéré aux déplacements de ces nœuds. Pour une poutre droite, qui se différencie de l'élément précédent par le fait que les nœuds peuvent transmettre des moments aux extrémités, la matrice de raideur fait aussi intervenir le moment quadratique I [8]. $ n\5 ^ J^V / . ^/Mj '-"~~~/^ ^ s' >K&i s' UJ Ti * NiX"!-, E> S' ! U> /XX^L .^\ vi^ i Ml "V V N <-» effort Normal (f-II-3) T <-> effort Tranchant II-3 © [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés. 2 - Fonctions d'interpolation En négligeant l'influence de l'effort tranchant, la matrice précédente peut être obtenue en utilisant les formules de Bresse. Une autre méthode consiste à utiliser des fonctions d'interpolation sur les déplacements [3] : © [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés. Chapitre II Structures de poutres b - Matrice de raideur Les fonctions précédentes, polynômes d'Herm/fe, permettent le calcul de la matrice de raideur en considérant l'égalité : f J(^- + ^).dx = f "U. K e. De EI.vlxx = Mf ES.u,x = N où f,x = -jp - EU* X EU. O (Jj\ (r-II-6) où : u,x = Ni ,x . ui + N2,x . uj v,xx = N3,xx . vi + N4,xx . 0i + N5,xx . vj + Ne.xx . 9j En tenant compte de l'influence de l'effort tranchant T, cette matrice devient : 'ES -ES L L 12.EI 6.EI -12. El 6.EI L3.(1 + À) L2.(1 + X) L3.(1 + À) L2.(1 + X) 6.EI El. (4 +A.) -6.E.I EI.(2-X) R _ L2.(1 + À) L.Q + À) L2.(1 + X) L(1 + X). , _ 12.E.I Ke- ^g-g ES ~ âsTÎJ } L L -12.E.I -6.E.I 12.E.I -6.E.I L3.(1 + À) L2.(1 + À) L3.(1 + À) L2.(1 + À) 6.E.I EL (2-À) -6.E.I EL (4 + À) L2.(1 + À) L(1 + X) L2.(1 + À) L(1 + À) 3 - Charges en travée Après assemblage, le système linéaire à résoudre (F=K.U) ne fait intervenir que les efforts extérieurs (forces et moments) appliqués sur les nœuds. Toute charge agissant sur une poutre doit donc être préalablement décomposée en efforts équivalents imposés aux nœuds. Pour une charge répartie - p(x) suivant l'axe de la poutre, q(x) dans une direction perpendiculaire - et en utilisant le théorème des travaux virtuels, les efforts équivalents Ni, fi, Mi, Nj, fj, Mj sont calculés avec les égalités : TN3] fti" f / \ */ \ _i F~- A- "• A - I f N4 r^. -* ^, ^.-i Mi Jq(x).v(x).dx = [vi 61 vj 8jj.Jq. N5 .dx = [vi 6i vj 9jJ. ^ |_ N6J LMJ_ (r-II-8) I I r~ "°i I"" '*» "" • f / \ ^/ \ j • r^- ^-i f N1 r/s. /S.T fSli Jp(x).u(x).dx = [u. uj].Jp|N2J.dx = [u. uj]. n-5 © [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés. Chapitre II Structures de poutres 4 - Résolutions Rappel : toutes les formulations précédentes correspondent à des petits déplacements. a • Statique Comme pour les treillis plans, et après sommation des efforts équivalents dus aux charges en travée aux efforts directement imposés aux nœuds, le système à résoudre est de la forme : F = K „ U . Des calculs de diagrammes de moment de flexion, d'effort tranchant, d'effort normal et de déplacement de la ligne moyenne sont ensuite effectués pour chaque poutre. b - Dynamique : vibrations libres Les polynômes Nï(x) donnent les coefficients de la matrice masse-consistante en exprimant l'énergie cinétique (inertie de rotation de section droite négligée [3]) : L _ f JP.S.((U,t)2+(V,t)2).dX = -l. 'Ùe . Me . Ùe (r-II-9) 0 La recherche des modes propres (valeurs et vecteurs propres) s'effectue en résolvant le système : M . Ù + K. U = 0. Les déformées modales sont ensuite tracées en utilisant les fonctions Ni(x). c - Dynamique : vibrations forcées Avec amortissement, la formulation matricielle devient : M . Ù + C . Ù + K.U = F(t) La résolution peut se faire par superposition modale (voir annexe H) ou intégration directe pas à pas [2]. Cette expression sera reprise lors de l'exposé sur la méthode de "dynamique explicite". d - Bifurcation d'équilibre A ce type d'étude, correspondent aussi les désignations: "stabilité initiale" ou "flambage classique" [7]. Cela consiste à rechercher des valeurs et vecteurs propres. Pour le mode n: [K + A,n.Kg].Qn = 0 où Kg uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-mef.pdf