CHAPITRE 9 COURS : TRANSLATIONS ET VECTEURS Extrait du programme de la classe d

CHAPITRE 9 COURS : TRANSLATIONS ET VECTEURS Extrait du programme de la classe de Troisième : CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES Vecteurs et transla- tions Égalité vectorielle Ï Connaître et utiliser l’écriture vectorielle #  AB = #  CD pour expri- mer que la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D. Cette rubrique prend en compte les acquis du cycle central sur les parallélogrammes et sur la transla- tion. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans les couples (A, A′), (B,B′), (C,C ′)... de points ho- mologues par une même translation, d’un même objet nommé vecteur. On écrira #  u = #  AA′ = #  BB′ = #  CC ′ = .... L’un des objectifs est que les élèves se représentent un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et d’une longueur. Ï Lier cette écriture vectorielle au paral- lélogramme ABCD éventuellement aplati. On mettra en évidence la caractérisation d’une éga- lité vectorielle à l’aide de milieux de [AD] et [BC] : Si #  AB = #  CD alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a #  AB = #  CD et #  AC = #  BD. Composition de deux translations ; somme de deux vecteurs. Ï Utiliser l’égalité #  AB + #  BC = #  AC et la relier à la composée de deux translations. Des activités de construction conduiront à l’idée que la composée de deux translations est une translation. Ï Construire un représen- tant du vecteur somme à l’aide d’un parallélo- gramme. À partir de ce résultat, à établir ou admettre, on dé- finira la somme de deux vecteurs. On introduira le vecteur nul #  0 = #  AA = #  BB = ... ainsi que l’opposé d’un vecteur. Aucune compétence n’est exigible des élèves sur l’égalité vectorielle #  AC − #  AB = #  BC ni, plus généralement, sur la soustraction vectorielle. Composition de deux symétries centrales. Ï Savoir que l’image d’une figure par deux symétries centrales suc- cessives de centres dif- férents est aussi l’image de cette figure par une translation. Des activités de construction permettront de conjecturer le résultat de composition de deux sy- métries centrales. La démonstration sera l’occasion de revoir la configuration des milieux dans un tri- angle. Ï Connaître le vecteur de la translation composée de deux symétries cen- trales. On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation 2 #  AB pour désigner #  AB + #  AB. Tout commentaire sur le produit d’un vecteur par un entier est hors programme, ainsi que la notation "o" pour désigner la composée. 3ème Page 1/4 Cours translations et vecteurs 1 Notion de vecteur Définition : Si, par une translation donnée, les points A, B, C ont pour images respectives les points A′, B′ et C ′, alors on dit que les couples de points (A, A′), (B,B′), (C,C ′) définissent un vecteur. Si on note #  u ce vecteur, alors on peut écrire #  u = #  AA′ = #  BB′ = #  CC ′, et on dit que #  AA′, #  BB′ et #  CC ′ sont des représentants du vecteur #  u . A A′ B B′ C C′ ⃗ u Caractéristiques d’un vecteur : Si A et B sont deux points distincts, alors on peut entièrement déterminer le vecteur #  AB par : – sa direction (celle de la droite (AB)), – son sens (de A vers B) – et sa longueur, ou norme (celle du segment [AB]). Vocabulaire : Dans ce cas, le point A est appelé origine du vecteur, et le point B en est l’extrémité. 2 Vecteurs égaux Définition : On dit que deux vecteurs #  u et #  v sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. ⃗ u ⃗ v Définition : Si A et B sont deux points distincts du plan, alors le vecteur #  B A a la même direction et la même longueur que le vecteur #  AB, mais il n’a pas le même sens. On dit que #  B A est le vecteur opposé au vecteur #  AB, et on note #  B A = − #  AB. A B A B Propriétés : Soient A, B, C et D quatre points du plan. Ï Si les vecteurs #  AB et #  CD sont égaux, alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Ï Si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati), alors les vecteurs #  AB et #  CD sont égaux (tout comme les vec- teurs #  AC et #  BD). A B D C A B C D ou Propriétés : Soient A, B, C et D quatre points du plan. Ï Si les vecteurs #  AB et #  CD sont égaux, alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Ï Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors les vecteurs #  AB et #  CD sont égaux (tout comme les vec- teurs #  AC et #  BD). A B D C I 3ème Page 2/4 Cours translations et vecteurs Comment placer un point défini par une égalité vectorielle : A, B et C sont trois points du plan. On veut placer le point D tel que #  AB = #  CD. Sur un quadrillage : On commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape 1). Puis on utilise le quadrillage pour construire le quatrième sommet du parallélogramme ABDC (étape 2) ; ici, on décale de deux carreaux vers la droite et de cinq carreaux vers le bas. A B C A B C D Sur du papier blanc : On commence par repérer, à peu près, la zone dans laquelle sera situé le point D (étape 1). Puis on utilise le compas pour construire le quatrième sommet du parallélogramme ABDC (étape 2) ; ici, on trace un arc de cercle de centre C de rayon AB, puis un second arc de cercle de centre B de rayon AC. A B C A B C D Propriété : Soient A, I et B trois points distincts du plan. Dire que #  AI = #  IB revient à dire que I est le milieu de [AB] A B I 3 Somme de deux vecteurs Propriété : La composée de deux translations de vecteurs #  u et #  v est elle-même une translation, dont le vecteur est appelé somme des vecteurs #  u et #  v , et est noté #  u + #  v . ⃗ u + ⃗ v ⃗ u ⃗ u ⃗ v ⃗ v ⃗ u + ⃗ v A B C 3ème Page 3/4 Cours translations et vecteurs Relation de Chasles : Si, avec les notations précédentes, #  AB est un représentant de #  u , et #  BC est un représentant de #  v , alors on peut écrire la relation #  AB + #  BC = #  AC, connue sous le nom de relation de Chasles. Remarque : On peut retenir que "faire la translation de vecteur #  AB, puis faire la translation de vecteur #  BC, cela revient à faire directement la translation de vecteur #  AC." Définition : Si A et B sont deux points distincts, on a, d’après la relation de Chasles, #  AB+ #  B A = #  AA, qui correspond à un déplacement nul. Le vecteur #  AA est par conséquent appelé vecteur nul, et on note #  0 = #  AA. Comment construire la somme de deux vecteurs : A est un point du plan, #  u et #  v sont deux vecteurs. On veut placer le point B tel que #  AB = #  u + #  v . En mettant les vecteurs "bout à bout" : On construit le point M tel que #  AM = #  u , puis on construit le représentant du vecteur #  v ayant ce point M pour origine ; un représentant du vec- teur #  u + #  v est le vecteur #  AB. ⃗ u + ⃗ v ⃗ u ⃗ v ⃗ u ⃗ v A B M En prenant des représentants de même origine : On construit des représentants des vecteurs #  u et #  v d’origine A, et on appelle M et N les ex- trémités de ces deux représentants. On construit le point B comme quatrième sommet du paral- lélogramme AMBN ; un représentant du vecteur # uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-vecteurs-et-translation-3eme-annee-colleg1.pdf

Tags
Ingénierie vecteur vecteurs points alors point
Documents similaires
  • 23
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager