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Bibm@th.net Rechercher sur le site... Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices de géométrie > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Géométrie de l'espace Repérage dans l'espace Exercice 1 - Changements de repère [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé L'espace est muni de son repère euclidien canonique . On considère le nouveau repère où les coordonnées des points dans sont 1. Soit un point de coordonnées dans le repère . Donner ses coordonnées dans le repère . 2. Donner la formule de changement de repère de à sous la forme où est une matrice . Puis écrire sous la même forme la formule de changement de repère inverse, de à . 3. On considère , et trois points dont les coordonnées sont exprimées dans . Donner une équation du plan dans le repère , puis dans le repère Indication 1. Écrire en termes de vecteurs de ce que signifie que a pour coordonnées dans puis pour coordonnées dans . Passer de l'un à l'autre par la relation de Chasles et par changement de coordonnées de vecteurs. 2. Pour la deuxième partie de la question, il suffit d'inverser la relation. 3. Pour calculer l'équation de dans , on peut ou bien chercher les coordonnées de dans , ou bien appliquer la formule du changement de variables à l'équation de ce plan dans . Corrigé 1. Écrivons plutôt les repères en termes d'un point (le centre) et de 3 vecteurs non colinéaires. Le repère initial est avec la base canonique de , et le nouveau repère est avec , et . Dire que a pour coordonnées dans le repère signifie que l'on a . Dire que a pour coordonnées dans le repère signifie que l'on a . Il faut passer de la première écriture à la seconde. Pour cela, on commence par utiliser la relation de Chasles : Il faut maintenant exprimer dans la nouvelle base . Dans le cas présent, c'est plutôt facile. En effet, on a , puis et donc . Puisque , on obtient donc Autrement dit, les coordonnées de dans le nouveau repère sont On peut vérifier que l'on ne s'est pas trompé en vérifiant que les nouvelles coordonnées de et sont respectivement , et . 2. On a tout simplement Pour obtenir la formule de changement de repère réciproque, il suffit d'échanger le rôle joué par et . La matrice étant inversible, et notant le vecteur colonne , on a avec 3. L'équation cartésienne de dans est facile à obtenir. On dit que est élément de si et seulement si les vecteurs sont liés, si et seulement si le déterminant de ces trois vecteurs est nul. Leur déterminant est Le plan ABC a donc pour équation . Pour trouver son équation dans , on peut ou bien chercher les coordonnées de dans et utiliser la même méthode, ou bien appliquer directement la formule du changement de variables trouvé à la question précédente. En effet, on peut utiliser que , et , on trouve facilement que l'équation de dans est . Exercice 2 - Changement de repères abstrait [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On considère trois repères et de l'espace, et les trois coordonnées respectives d'un même point dans les repères et . 1. Démontrer que l'on a où et . 2. Quelle formule relie les couples et ? Indication 1. Utiliser la formule de Chasles et la formule de changement de variables. 2. Composer les changements de variables. Corrigé 1. Notons le repère et le repère . Dire que a pour coordonnées dans signifie que Par la formule de Chasles, on a Notons les coordonnées de dans et la matrice de passage de à . Alors on a 2. On a On en déduit que Exercice 3 - D'un système de coordonnées à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point . Indication Retourner à la définition (et relire son cours!). Corrigé Soit le projeté orthogonal de sur le plan . a pour coordonnées . En particulier, on a , et on a Les coordonnées cylindriques de sont donc . Pour déterminer les coordonnées sphériques, il faut en plus déterminer la longueur et une mesure de l'angle . Mais on a , et l'angle est compris entre 0 et . Puisque on en déduit que l'angle fait . Les coordonnées sphériques de sont donc . Exercice 4 - Distance terrestre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé La terre étant assimilée à une sphère de rayon , calculer la distance "à vol d'oiseau" entre le point de longitude et de latitude et le point de longitude et de latitude . On rappelle que cette distance est donnée par la longueur de l'arc de cercle intersection de la sphère et du plan . Application numérique : Calculer la distance entre Paris (48deg 49min N, 2 deg 19 min E) et Buenos Aires (34 deg 40 min S, 58 deg 30 min O). On prendra . Indication Corrigé Equations de droites et plans Exercice 5 - Équation d'un plan donné par deux vecteurs directeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, donner une équation cartésienne du plan passant par le point et dirigé par les vecteurs et . Indication est normal au vecteur et passe par le point . Corrigé Il y a plusieurs méthodes, la plus rapide étant de remarquer que est un vecteur normal au plan . Les coordonnées de sont . On en déduit que Exercice 6 - D'un type d'équation à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. 1. Donner une équation cartésienne du plan de représentation paramétrique 2. Donner une représentation paramétrique du plan d'équation . 3. Donner un système d'équations définissant la droite dont une représentation paramétrique est : 4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite donnée par le système d'équations : Indication 1. Éliminer les paramètres, ou utiliser le produit vectoriel. 2. Choisir deux coordonnées comme paramètres. 3. Exprimer en fonction de dans la dernière équation, et remplacer dans les deux autres. 4. Choisir une coordonnée comme paramètre. Corrigé 1. Il y a deux méthodes possibles. La première consiste à exprimer les paramètres en fonction des coordonnées. Ainsi, si on note le plan, on a : Une équation cartésienne du plan est donc . L'autre méthode consiste à remarquer que et sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de . Un vecteur normal de est donc . Une équation du plan est alors de la forme . On détermine en remarquant que le point appartient à . On trouve finalement . 2. Il suffit de choisir deux coordonnées comme paramètres. Notons le plan. On a Une représentation paramètrique de est donc donnée par 3. La dernière équation donne . On remplace dans les deux autres pour trouver un système d'équations : 4. On choisit une des coordonnées comme paramètres, et on utilise la méthode du pivot pour exprimer les deux autres coordonnées en fonction de ce paramètre. Notant la droite, on a Une représentation paramétrique de est donc donnée par Exercice 7 - Équation d'un plan passant par trois points [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On munit l'espace d'un repère . Parmi les équations cartésiennes ou représentations paramétriques suivantes quelles sont celles qui correspondent à l'unique plan \(\mathcal{P}\) passant les trois points , et ? 1. ; 2. ; 3. 4. . Indication Il suffit de tester si les trois points , et sont sur les plans définis dans chaque question. Corrigé On va noter , , et les plans définis dans chaque question par son équation cartésienne ou sa représentation paramétrique. Pour déterminer si est le plan passant par , et , il faut et il suffit de tester si , et sont éléments du plan. 1. On a , et et donc est bien le plan . 2. On a et donc . 3. C'est plus difficile de savoir si est élément de . En effet, il faut déterminer s'il existe tels que Avec le même problème pour et , cela nous fait 3 systèmes à résoudre, ce qui est un peu long. On peut aussi déterminer une équation cartésienne de ce plan, puis revenir à la méthode précédente. Remarquons que Une équation cartésienne de est donc On reconnait l'équation de . On a donc . 4. On fait le même raisonnement, mais les calculs sont plus faciles, car on a directement et une équation cartésienne de est On reconnait l'équation de et donc . Exercice 8 - Point d'intersection de deux droites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé L'espace est muni d'un repère . On considère les deux droites et de représentation paramétrique respective Démontrer que les droites et sont sécantes en un point dont on déterminera les coordonnées. Indication Soit un point uploads/Ingenierie_Lourd/ exercices-corriges-geometrie-de-l-x27-espace.pdf