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NOTES DE COURS DE l’UV MQ41 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX INTRODUCTION AUX CALCULS D

NOTES DE COURS DE l’UV MQ41 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX INTRODUCTION AUX CALCULS DES STRUCTURES Automne 2004 Jérôme BASTIEN Document compilé le 12 janvier 2011 Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons : Paternité - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁcation ; 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou en français http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.fr Table des matières Avant-propos v Dangers et attraits de la modélisation vii partie 1. (Ré)-visions 1 Chapitre 1. Rappels de résistance des matériaux 3 1.1. Introduction : principes de la résistance des matériaux et de la mécanique des milieux continus 3 1.2. Le cadre théorique de la RDM dans le cas des poutres 4 1.3. Les équations d’équilibre local en RDM pour les poutres planes 16 1.4. Étude des sollicitations simples 23 1.5. Étude des sollicitations composées 30 1.6. Un mot sur l’aspect isostatique des structures étudiées 30 1.7. Déplacement des sections droites dans le cas de poutres planes 30 1.8. Finalité de la résistance des matériaux 31 Chapitre 2. Cercles de Mohr 33 2.1. Problème tridimensionnel 33 2.2. Problème bidimensionnel 39 partie 2. Élasticité linéaire en petites déformations 43 Chapitre 3. Les théorèmes énergétiques 45 3.1. Introduction 45 3.2. Généralités 45 3.3. Structures isostatiques, hypostatiques et hyperstatiques 56 3.4. Théorèmes énergétiques 58 3.5. Quelques remarques sur les théorèmes énergétiques 77 3.6. Méthodes d’études des structures (méthodes des forces) 81 Chapitre 4. Étude de poutres circulaires 83 4.1. Notations 83 4.2. Étude de l’équilibre local 84 4.3. Applications : étude de diﬀérentes structures 84 4.4. Problèmes dans l’espace 92 partie 3. Introduction à la mécanique non linéaire 95 i ii TABLE DES MATIÈRES Chapitre 5. Flambement (ﬂambage) 97 Chapitre 6. Critères de plasticité 99 6.1. Introduction 99 6.2. Critères de plasticité 100 6.3. Critère de Tresca 101 6.4. Critère de Von Mises 105 6.5. Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises 109 6.6. Exemples d’application 114 Chapitre 7. Une introduction à l’analyse limite 119 7.1. Introduction 119 7.2. Modèles de comportement de matériaux 119 7.3. Un exemple : cas d’un chargement uniaxial 120 7.4. Applications de l’analyse limite 125 Bibliographie 127 partie 4. Annexes 129 Annexe A. Rappels de mécanique des milieux continus, en élasticité linéaire isotrope en petites déformations 133 A.1. Rappel sur la notation de sommation d’Einstein 133 A.2. Transformation ﬁnie d’un volume 134 A.3. Le tenseur des déformations 135 A.4. Le tenseur des contraintes 138 A.5. Les directions principales des déformations et des contraintes 140 A.6. La loi de Hooke 140 A.7. Les autres équations de la MMC 143 A.8. Récapitulatif 143 Annexe B. Rappels mathématiques et mécaniques pour l’étude de critères (chapitre 6) 145 B.1. Quelques rappels sur les tenseurs et les matrices 145 B.2. Preuve de quelques résultats énergétiques du chapitre 6 146 B.3. Réduction de coniques (et de quadriques) 149 B.4. Quelques résultats de comparaison entre les critères de Tresca et de Von Mises 151 partie 5. Annexes facultatives 155 Annexe C. Démonstration de l’équilibre local pour les poutres planes 159 C.1. Rappels sur la courbure, le rayon de courbure et le repère de Frenet 159 C.2. Démonstration de la proposition 1.9 160 C.3. Démonstration de la proposition 1.12 162 Annexe D. Rappels des formules de Bresse 165 Annexe E. Un exemple d’étude de cercles de Mohr (sous forme d’exercice corrigé) 167 Énoncé 167 UTBM Automne 2004 notes de cours de l’UV MQ41 Jérôme BASTIEN TABLE DES MATIÈRES iii Corrigé 167 Annexe F. Exemple de calcul de ﬂèche par méthode énergétique (sous forme d’exercice corrigé) – Exemple d’application de la théorie des distributions 171 Avertissement 171 Énoncé 171 Corrigé 174 Annexe G. Équivalence des équations (3.84) et (3.85) 189 Annexe H. Exemple d’étude d’une structure circulaire (sous forme d’exercice corrigé) 191 Avertissement : conﬂit d’orientation 191 Énoncé 191 Corrigé 195 Annexe I. Un exemple de critère (sous forme d’exercice corrigé) 201 Énoncé 201 Corrigé 203 Annexe J. Une introduction à l’étude matricielle des réseaux de poutres 207 Avertissement 207 J.1. Introduction 207 J.2. Hypothèses de calcul et méthodes 207 J.3. Calcul de la matrice de rigidité élémentaire 209 J.4. Étude complet d’un premier exemple 223 J.5. Assemblage des matrices élémentaires 233 J.6. Modélisation et traitement des conditions d’appui et des chargements appliqués 239 J.7. Étude d’un second exemple 242 J.8. Calcul des eﬀorts et des déplacements dans la structure 245 J.9. Quelques exercices 246 Avant-propos Ces notes de cours constituent un support de cours pour l’UV MQ41 (Automne 2004). Ce polycopié de cours est disponible en ligne sur le site http://utbmjb.chez-alice.fr/UTBM/index.html On y trouvera aussi les sujets de TD et des archives de sujets et de corrigés d’examens. Attention, seuls les chapitres 2, 6 et 7 ainsi que les annexes1 A et B seront disponibles à la reprographie : ils serviront directement de support de cours pour les interventions de Jérôme Bastien. Les autres chapitres (1, 3 et 4) ne seront pas disponibles à la reprographie : E. Atcholi les présentera et utilisera ses propres supports de cours. Néanmoins, pour mémoire, ces chapitres sont disponible sur le web (http://utbmjb.chez-alice.fr/UTBM/index.html). Le chapitre 5 sera traité en cours par E. Atcholi mais ne ﬁgure pas dans ce polycopié. Le cours se décompose en trois parties : – Dans la partie 1, nous révisons et approfondissons les bases : après quelques rappels élémentaires (ou découverte) de Résistance des Matériaux (chapitre 1) et de Mécaniques des Milieux Continus (annexe A), nous révisons le cercle de Mohr (chapitre 2), qui sera souvent utilisé au cours de ce semestre (notamment en TP et pour le chapitre 6). – Dans la partie 2, dans un cadre élastique linéaire, nous donnons les théorèmes énergétiques et leurs applications (chapitre 3), notamment pour des poutres circulaires (chapitre 4). – Dans la partie 3, nous étudions quelques exemples élémentaires de mécanique non linéaire. Au cours du chapitre 5, nous étudierons le phénomène instable (et fortement destructeur) du ﬂambement. Nous donnerons ensuite quelques éléments sur les critères de défaillance (chapitre 6), puis nous étudierons un exemple de calcul par analyse limite (chapitre 7). Suivent ensuite les annexes, regroupées en deux autres parties : – Dans la partie 4, se trouvent les annexes A et B. – Dans la partie 5, se trouvent des annexes facultatives, qui contiennent des compléments, non traités en cours. Par exemple, on trouvera en annexe J, l’étude des réseaux de poutres. Cette annexe facultative ne sera pas étudiée en cours mais ﬁgure pour les curieux qui désignent mieux connaître ce point, utile pour comprendre la façon dont ANSYS2 traite les réseaux de poutres. Seule une inﬁme partie des diﬀérentes études possibles sous ANSYS est évoquée dans cette annexe ! Toutes les annexes de la partie 5 ne sont pas disponibles à la reprographie mais se trouvent sur le web (http://utbmjb.chez-alice.fr/UTBM/index.html). 1elles comprennent les preuves ou des compléments de résultats de cours ; leur lecture n’est pas essentielle mais conseillée. 2logiciel utilisé en TP. v vi AVANT-PROPOS Ceux qui désirent, par curiosité, lire quelques pages géniales consacrées à un bref historique de la mécanique, pourront consulter les pages 7 à 21 de [Ger86]. UTBM Automne 2004 notes de cours de l’UV MQ41 Jérôme BASTIEN Dangers et attraits de la modélisation En cours de mécanique, ou plus généralement en physique, vous avez déjà étudié des ressorts, des poutres, des résistances électriques, des ampèremètres ... Ces divers objets ont souvent un comporte- ment linéaire3 : le déplacement de l’extrémité du ressort est proportionnel à la force qu’il reçoit, les déplacements et les forces sont proportionnels dans les poutres, la tension aux bornes d’une résistance est proportionnelle au courant qui la traverse .... Tout cela est faux ! Le terme «modéliser4» contient en lui-même l’idée d’une simpliﬁcation eﬀectuée par rapport à un système réel étudié. Souvent, la modélisation repose sur une approximation linéaire pour deux motifs ; la simplicité mathématique d’abord : le comportement linéaire d’un système est le plus simple que l’on puisse imaginer. Sur le plan physique ensuite : les diﬀérents modèles adoptés prédisent des résultats, aisément contrôlables par des mesures réelles. Les équations obtenues sont linéaires et donc en général plus simples à traiter que les non linéaires. Ces modèles sont irréels mais fournissent des résultats proches du réel. Lorsque des résultats issus des modèles linéaires s’écartent trop de la réalité, on aura recours à des modèles plus complexes, non linéaires ; on les utilise en RDM pour expliquer des phénomènes de ﬂambement ou de plasticité, par exemple. De façon plus générale, un modèle physique est un concept abstrait, fondé sur un ensemble d’hy- pothèses, d’origine axiomatique, expérimentale ou autre. Ce modèle abstrait fournit, par le biais d’équations, un certain nombre de prédictions. Le rôle des mathématiciens est d’étudier ces équations, de vériﬁer qu’elles sont bien posées, éventuellement de les résoudre explicitement, ou alors d’en pro- poser des approximations numériques. Le rôle des physiciens est de vériﬁer la cohérence des résultats prédits avec ceux qui sont observés dans le réel, éventuellement de revoir les hypothèses émises, en cas de divergence. Fondamentalement, les physiciens réﬂéchissent aussi à l’élaboration des modèles, fondée sur la compréhension phénomènologique du réel uploads/Ingenierie_Lourd/ coursmq41-a04.pdf