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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées M208 : Initiation à la modélisation mathématique Notes de cours par Clément Boulonne Corrigé (partiellement) par Franck Wielonsky L2 Mathématiques 2007 - 2008 Table des matières Introduction 4 0.1 Qu’est ce que la modélisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Introduction à la théorie des graphes 5 1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Quelques problèmes historiques de la théorie des graphes . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Problème de ponts de Konigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Problème du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Problème de transport : Taxis de la Marne . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Déﬁnitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Problème d’accessibilité de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Flot et graphe d’écart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Les pendules 15 2.1 Modélisation du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Résolution dans le cas des petites oscilations . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Espaces de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Resistance de l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Etude de ¨ y + a ˙ y + by = 0 (a, b ∈R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Pendule forcé... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Méthode de la variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 La méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Résolution du pendule simple ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 27 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 Loi de Hooke (1635-1703) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Intéraction entre plusieurs masses (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.7 Particules avec frottement et gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.8 Agitation du système masse-ressort avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Approximation trigonométrique 38 4.1 Interpolation trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 4.4 Vers la transformée de Fourier rapide (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5 Transformée en cosinus discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6 La compression JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Introduction 0.1 Qu’est ce que la modélisation ? La modélisation est un processus qui se fait en plusieurs étapes : 1) Détermination et formulation d’un problème 2) Construction d’un modèle (simpliﬁcation) 3) Résolution de problème mathématiques →méthodes analytiques (exactes) →méthodes numériques (approches) →équations diﬀérentielles 4) Retour au problème concret. Interpretation des résultats obtenus (vériﬁcation des solutions). La modélisation englobe des domaines de mathématiques, physique, envrionnementaux ou astronomie. Exemple 0.1.1. On peut utiliser la modélisation dans le cas de prévisions météorologiques, de problèmes de traﬁc (Velib’), dans la construction d’un avion, les essais nucléaires. 4 Chapitre 1 Introduction à la théorie des graphes 1.1 Déﬁnitions Lorsqu’on a un problème, cela peut étre utile de faire un dessin. Les graphes sont des dessins un peu particuliers composés par des sommets et des arrétes qui rejoigent ces sommets. Exemple 1.1.1. Plan de métro. Carte routière. Schéma éléctrique. Organigramme dans une société. Arbre généalogique. Soit cela ressemble à un résau de transport, soit cela ressemble à des objects connectés par d’autres objets particuliers. 1.2 Quelques problèmes historiques de la théorie des graphes 1.2.1 Problème de ponts de Konigsberg Le premier problème de la théorie des graphes a été établi en 1736 par les ponts de Konig- sberg. Le problème est de trouver un chemin qui passe un et une seule fois sur les sept ponts en partant d’un territoire quelconque (A, B, C, D). Cela n’existe pas à cause des chemins eulériens. Il faut prouver que cela n’existe pas. Cela semble diﬃcile et c’est Euler qui a demontré cette théorie. On veut représenter cette situation par un graphe. Les sommets representent les territoires A, B, C et D et les autres correspondent aux points. 5 6 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes 1.2.2 Problème du dodécaèdre Il y a 12 pentagones et 20 sommets dans le pentagone. Le problème est de trouver uploads/Ingenierie_Lourd/ m208-initiation-a-la-modelisation-mathematique.pdf