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http://mongi.amorri.site.voila.fr/ Page 1 Lycée Chebbi Gabès 08‐09 Devoir de contrôle n°1 4° Sc EXP1 Amorri Mongi Exercice n°1 : QCM(3 points) Donner la réponse juste 1‐ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ) , , o u v G G on considère les points 1 2 et M M d’affixes respectives 1 2 et z z non nuls et tel que 1 2 2 i z e z π = a‐ Le triangle 1 2 OM M est un triangle équilatéral b‐ Le triangle 1 2 OM M est un triangle rectangle et isocèle c‐ Les points 1 2 , et M O M sont alignés 2‐ Pour tout réel θ de [0 ; 2π[ on pose ( ) 1 i Z eθ θ = + . Alors : a‐ 3 2 ( ) 3 i Z e π π = . b‐ Pour tout θ de [0 ; 2π[ , 2 ( ) est réel i Z e θ θ − c‐ Pour tout θ de [0 ; 2π[ , 2 ( ) i Z e θ θ est réel. Exercice n°2 : (3points) Répondre par vraie ou faux : Pour toute fonction f continue sur [0 ; 1], à valeurs dans \ , on a : 1‐ Si (0) 1 f = −et (1) 1 f = alors il existe un unique ∈ x [0 ; 1], tel que ( ) 0 f x = . 2‐ Si f est strictement croissante sur [0 ; 1], alors pour tout [ ] ∈ (0) ; (1) y f f il existe un unique ∈ x [0 ; 1] tel que = ( ) y f x 3‐ Si = − (0) 1 f et = (1) 2 f alors il existe α ∈[0 ; 1] tel que α α = ( ) f . 4‐ si : ] [ 0 (0) et f(1) 1 alors l'équation f(x)=x admet au moins une solution dans 0,1 f ≺ ≺ Exercice n°3 : (7points) Soit la fonction f définie sur ∗ \ par 2 2 1 1 ( ) x f x x + − = 1‐ Montrer que f possède un prolongement par continuité g en 0 et puis définir g(x) pour tout réel x 2‐ a ‐ Montrer que pour tout x réel on a : 2 2 1 1 2 1 x x + + ≤ + b‐ En déduire que : 2 1 , ( ) 2 1 x f x x ∗ ∀∈ ≥ + \ c‐Montrer que : 1 , ( ) 1 x f x x ∗ ∀∈ ≤+ \ 3‐ Calculer alors les limites suivantes : 2 2 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( ) x x x x f x f x x f x x f x →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ 4‐ On donne dans un repère orthonormé la représentation graphique de g : http://mongi.amorri.site.voila.fr/ Page 2 a‐ Donner en utilisant le graphique le nombre de solutions de l’équation f(x)= 2 5 b‐ Justifier que : ( ) 1 0, 2 g ⎤ ⎤ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎦ \ c‐ En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l’équation f(x)= 2 5 a exactement deux solutions et donner un encadrement d’amplitude 0,2 de chaque solution. Exercice n°4 : (7points) 1‐ Ecrire le nombre complexe ( ) 2 3 i + sous forme algébrique 2‐ Résoudre dans ^ l’équation (E) : 2 (1 3) 1 3 0 z i z i + − −− = .On désignera par ' et z'' les racines de (E) avec R ( ') 0 e z z ; 3‐ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( ) , , o u v G G .On considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives z’ et z’’ et les points A et B ‘affixes respectives 3 1 1 3 et b = 2 2 2 2 a i i − = + + a‐ Mettre a et b sous forme exponentielle b‐ Montrer que ' et '' OM OA OB OM OB OA = + = − JJJJJ G JJJ G JJJ G JJJJJ G JJJ G JJJ G c‐ Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O d‐ Placer dans le plans les points A , B , M’ et M’’ et en déduire les valeurs de 5 5 cos et sin 12 12 π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-1-08-09-4scexp.pdf