Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

29/10/2020 Exercices corrigés -Barycentres www.bibmath.net/ressources/index.php

29/10/2020 Exercices corrigés -Barycentres www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/geo/barycentres&type=fexo 2/12 Ressources mathématiques > Exercices de géométrie > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Barycentres Exercice 1 - Point de concours des médianes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé A l'aide des barycentres, démontrer que les trois médianes d'un triangle sont concourantes et retrouver la position du centre de gravité sur les médianes. Indication Introduire l'isobarycentre des trois sommets et utiliser l'associativité. Corrigé Notons le triangle, le milieu de , le milieu de et le milieu de . Définissons finalement l'isobarycentre de , et . Alors, par associativité du barycentre, est le barycentre de et . Ainsi, est sur la droite . De même, est sur la droite et est sur la droite . Ainsi, les trois droites sont concourantes en . De plus, puisque est le barycentre de et , on a . Exercice 2 - Barycentre et distance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit trois points distincts du plan tels que soit sur le segment . Écrire comme barycentre de et avec des coefficients s'écrivant en fonction des distances , . Indication Corrigé Il suffit de remarquer que et que Ceci donne Ainsi, est le barycentre de et de . Exercice 3 - Un peu d'astuce [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. On note les trois racines dans du polynôme et les points du plan complexe d'affixes respectives et . Quel est l'affixe de l'isobarycentre de , et ABC A′ [BC] B′ [AC] C ′ [AB] G A B C G (A,1) ( ,2) A′ G (A ) A′ G (B ) B′ G (C ) C ′ G G (A,1) ( ,2) A′ = AG −→ − 2 3AA′ −→ − A, B, P P [AB] P A B PA PB = PB −→ − PB AB AB −→ − = − . PA −→ − PA AB AB −→ − PB ⋅ + PA ⋅ = . PA −→ − PB −→ − 0⃗ P (A,BP) (B,AP) , , z1 z2 z3 C P(z) = −4z + 8 z3 2 – √ , , A1 A2 A3 , z1 z2 z3 A1 A2 29/10/2020 Exercices corrigés -Barycentres www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/geo/barycentres&type=fexo 3/12 ? 2. Soit et trois points du plan. Déterminer les points du plan tels que . Indication 1. (il y a mieux à faire que d'essayer de résoudre l'équation ). 2. Corrigé 1. On sait que . On en déduit que , et donc que l'isobarycentre recherché est le point centre du repère. 2. On est dans le cas dégénéré des barycentres, puisque . En particulier, d'après la relation de Chasles, la quantité ne dépend pas du point , puisque si est un autre point : Ainsi, ou bien tous les points du plan vérifient cette propriété, ou bien aucun point du plan ne la vérifie. Testons pour . La condition qui apparait est . Autrement dit : Si est le milieu de , alors tous les points du plan conviennent. Si n'est pas le milieu de , aucun point ne convient. Exercice 4 - Un lieu géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit trois points du plan. Déterminer les points du plan tels que Indication Introduire les bons barycentres. Corrigé Soit le barycentre de , et , et l'isobarycentre de et . Alors la condition se réécrit en L'ensemble recherché est donc la médiatrice de si , l'ensemble de tous les points du plan si . Exercice 5 - Sept droites concourantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Dans un tétraèdre , on désigne par et les milieux des arêtes , , , , et et par et les centres de gravité des triangles , , et . Démontrer que les sept droites , , , , , et sont concourantes. Indication Deviner d'abord le point de concours! Corrigé A3 A, B C M −2 + = MA −→ − MB −→ − MC −→ − 0 → (z − )(z − )(z − ) =? z1 z2 z3 P(z) = 0 (z − )(z − )(z − ) = −( + + ) + … z1 z2 z3 z3 z1 z2 z3 z2 + + = 0 z1 z2 z3 O 1 −2 + 1 = 0 −2 + MA −→ − MB −→ − MC −→ − M N −2 + = (1 −2 + 1) + −2 + . NA −→ − NB −→ − NC −→ − NM −→ − MA −→ − MB −→ − MC −→ − M = A = 2 AC −→ − AB −→ − B [AC] B [AC] A, B, C M 2 − + 2 = + + . ∥ ∥ ∥MA −→ − MB −→ − MC −→ −∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥MA −→ − MB −→ − MC −→ −∥ ∥ ∥ K (A,2) (B,−1) (C,2) G A,B C 3MK = 3MG. [GK] G ≠K G = K ABCD I, J, K, L, M N [AB] [BC] [CD] [DA] [AC] [BD] , , G1 G2 G3 G4 BCD CDA ABD ABC (A ) G1 (B ) G2 (C ) G3 (D ) G4 (IK) (JL) (MN) 29/10/2020 Exercices corrigés -Barycentres www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/geo/barycentres&type=fexo 4/12 Soit l'isobarycentre de . On va démontrer que toutes les droites considérées passent par . Pour , on remarque, par associativité du barycentre, que est le barycentre de et de et donc il est sur la droite . C'est exactement la même chose pour les droites , et . Ensuite, toujours par associativité du barycentre, est le barycentre de et de . Il est donc aussi sur la droite . Le raisonnement est similaire pour les autres droites. Exercice 6 - Coplanaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On considère un tétraèdre et les points et définis par Démontrer que les points et sont coplanaires. Indication Démontrer que les droites et sont sécantes. Pour cela, on pourra exprimer et comme barycentres des sommets du tétraèdre, puis trouver le "bon" barycentre permettant de prouver que les droites et sont sécantes. Corrigé On remarque que est barycentre de , , que est barycentre de , , que est barycentre de , et que est barycentre de et . Introduisons le barycentre de et de . Bien sûr, est sur la droite . Mais par associativité du barycentre, est aussi barycentre de , , et , soit encore le barycentre de et de . Ainsi, est aussi sur la droite . Bien sûr, il n'est pas nécessaire d'utiliser le barycentre pour obtenir le résultat. Une méthode est de travailler dans le repère . Dans ce repère, les coordonnées respectives de et sont , , et . On peut alors chercher une équation du plan : on trouve . On vérifie alors facilement que est élément de ce plan, et donc que les 4 points sont coplanaires. Exercice 7 - Barycentre des sommets d'un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un triangle, des réels tels que et . On considère le barycentre de , et , puis le barycentre de , , . Démontrer que si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Ce résultat subsiste-t-il si on considère le barycentre de 4 points? Indication Corrigé D'abord, s'il existe tel que , et , alors on ne change pas le barycentre comme le montre immédiatement la définition et donc . Réciproquement, si , alors on a Mais puisque et que forme une base de , on a O A,B,C,D O (A ) G1 O (A,1) ( ,3) G1 (A ) G1 (B ) G2 (C ) G3 (D ) G4 O (I,2) (K,2) (IK) ABCD S, T, U V = AS − → 1 2 AB −→ − = AU −→ − 1 3 AD −→ − = DT −→ − 1 2 DC −→ − = BV −→ − 1 3 BC −→ − S, T, U V (ST) (UV ) S,T,U V (UV ) (ST) S (A,1) (B,1) T (C,1) (D,1) U (A,2) (D,1) V (B,2) (C,1) I (S,2) (T,1) I (ST) I (A,2) (B,2) (C,1) (D,1) (U,1) (V ,1) I (UV ) (A, , , ) AB −→ − AC −→ − AD −→ − S,T,U V (1/2,0,0) (0,1/2,1/2) (0,0,1/3) (2/3,1/3,0) STU 2x −y + 3z −1 = 0 V ABC α, β, γ, , , α′ β′ γ′ α + β + γ ≠0 + + ≠0 α′ β′ γ′ M (A, α) (B, β) (C, γ) M ′ (A, ) α′ (B, ) β′ (C, ) γ′ M = M ′ (α, β, γ) ( , , ) α′ β′ γ′ k ∈R∗ = kα α′ = kβ β′ = kγ γ′ M = M ′ M = M ′ AM −→ − AM ′ −→ − − = = + β α + β + γ AB −→ − γ α + β + γ AC −→ − uploads/Ingenierie_Lourd/ exercices-corriges-barycentres-bibmath.pdf