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Devoir de maths 7C 21/02/2016 4 heures Proposé par l’association des amis de ma

Devoir de maths 7C 21/02/2016 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 1/2 جمعية أصدقاء الرياضيات ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES DEVOIR DE MATHS Niveau : 7C Durée : 4h Proposé le 21 février 2016 de 8h à 12h Exercice 1 (3 points) 1.a)Déterminer l’ensemble A des entiers relatifs n tels que n+2 divise 5 b) Déterminer l’ensemble B des entiers relatifs n tels que n+2 divise 2n 1 . 2) Montrer que pour tout entier relatif n, les nombres n+2 et 2 2n 3n 1   sont premiers entre eux. 3) Déterminer l’ensemble C des entiers relatifs n, n 2 , tels que 2 2 (2n 1)(2n 3n 1) (n 2)(n 2)      soit un entier relatif. Exercice 2 (3 points) Soit un réel de l’intervalle 0, 2        1.a) Résoudre dans  l’équation (E): 2 2 2 (cos )z (2cos )z 1 0      b) On note 1 2 z ;z les solutions de (E) avec 1 Imz 0  . Ecrire 1 2 z ;z sous forme exponentielle. Justifier. 2.a) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout réel 0, 2        : 1 acos bcos cos 1 sin 1 sin          b) On pose t 1 0 F(t) z d    où t 0, 2        . Donner l’expression de F(t) en fonction de t puis calculer l’intégrale : 3 1 6 I z d      . L’écriture 1 z désigne le module de la solution 1 z de l’équation (E). Exercice 3 (3 points) On considère dans  l’équation 3 2 z 5z 6iz 28 12i 0      : (E). 1) Trouver les solutions de (E) notées et 0 1 2 z ,z z telles que 0 z et   2 Im z 0  . 2) Le plan P est rapporté à un repère orthonormé  O ;u , v  . On donne les points A, B et C d’affixes respectives et 0 1 2 z ,z z et pour tout point M du plan on pose :   2 2 2 f M MA MB 2MC    . a) G barycentre du système :       A,1 , B, 1 , C, 2   . Déterminer l’affixe deG . b) Représenter les points A, B, C etG . c) Discuter suivant les valeurs du réel k la nature de l’ensemble k des points M du plan tels que :   f M k  . d) Déterminer k pour que k A. Dans ce cas k sera noté simplement. Construire alors. 3) Soient et 1 2 M M deux points variables de tels que :   1 2 AM ,AM AB,AC         . Déterminer le lieu géométrique du point N symétrique de 1 M par rapport à la droite   2 AM puis le construire sur la figure précédente. Exercice 4 (4 points) On se propose dans cet exercice de calculer, par trois méthodes différentes, l’intégrale 3 2 2 I x 6x 8dx      . On considère la fonction f de variable réelle x définie sur   2,4 par 2 f(x) x 6x 8     .  la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i, j)  . 1) Méthode a : a) Montrer que  est un arc d'un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. b) Tracer (Sans étudier f) et donner une interprétation géométrique de l'intégrale 3 2 2 I x 6x 8dx      . c) Donner la valeur de I sans calculs de primitives ou d’intégrales. 2) Méthode b : a) On pose g(x) sinx  , x 2 2      . Montrer que g réalise une bijection de , 2 2         sur un intervalle que l’on déterminera et montrer que   1 2 1 g '(x) 1 x    . Devoir de maths 7C 21/02/2016 4 heures Proposé par l’association des amis de maths (AMIMATHS) Page 2/2 b) Calculer la dérivée de la fonction H définie par : 2 1 H(x) (x 3) x 6x 8 g (x 3)         . c) Trouver une primitive de f sur l’intervalle   2,4 et calculer I. 3) Méthode c : En posant x 3 cost   , calculer I et comparer avec les résultats précédents. Exercice 5 (7 points) Partie I : Soit la fonction numérique f définie sur [0;1] par :           0 ) 0 ( f 0 x ; x 1 x ln x ) x ( f 2 1.a) Montrer que la fonction u définie sur [0;1] par : x ln x 2 x 1 ) x ( u     est strictement croissante. b) Dresser le tableau de variations de la fonction u . En déduire que l’équation 0 ) x ( u  admet une unique solution ] 1 ; 0 ]   . Vérifier que 55 , 0 54 , 0    . 2.a) Montrer que la fonction f est continue sur [0;1]. b) Etudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative dans repère orthonormé ) j , i ; O (  . Préciser les tangentes aux points d’abscisse 0 et 1. Partie II ; Dans cette partie on se propose de donner une valeur approchée de l’intégrale   1 0 dt ) t ( f J . On ne demande pas de calculer J. 1) Etude d’une intégrale auxiliaire Soit n un entier naturel, 1 n  . n g la fonction définie sur [0;1] par :        0 ) 0 ( g 0 t ; t ln t ) t ( g n n n a) Montrer que la fonction n g est continue sur [0;1]. b) Soit n G la fonction définie sur [0;1] par :               0 ) 0 ( G 0 t ; ) 1 n ( t 1 n t ln t ) t ( G n 2 1 n 1 n n Montrer que n G est une primitive de n g sur [0;1]. En déduire la valeur de   1 0 n n dt ) t ( g J . 2) Etude de l’intégrale J Soit t un réel et n un entier naturel non nul. a) Calculer le produit ) t ) 1 ( t t 1 )( t 1 ( ) t ( P 1 n 1 n 2 n           . En déduire que pour tout réel 1 t   : t 1 t ) 1 ( t ) 1 ( t t 1 t 1 1 n n 1 n 1 n 2              . b) Montrer que : t 1 ) t ( g ) 1 ( ) t ( g ) 1 ( ) t ( g ) t ( g ) t ( g ) t ( f ], 1 ; 0 [ t 2 n n 1 n 1 n 4 3 2                , et que :              1 0 2 n n 1 n 1 n 4 3 2 dt t 1 ) t ( g ) 1 ( ) t ( J ) 1 ( J J J J  . c) Donner un majorant de t 1 ) t ( g 2 n   puis démontrer que 2 1 0 2 n ) 3 n ( 1 dt t 1 ) t ( g 0      . 3) Approximation de J Soit n un entier naturel non nul. On pose 2 1 n 2 2 n ) 2 n ( 1 ) 1 ( 4 1 3 1 S         a) Montrer que : J S lim n n    et que : 9 8 S J S   . b) En déduire une valeur approchée de J à 3 10 5   près. Fin. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoiramimath7c2-2016b.pdf