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; Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 2 < Métropole Antilles-Guyane 9 septe

; Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 2 < Métropole Antilles-Guyane 9 septembre 2022 Exercice 1 7 points Thèmes : probabilités Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non. On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que : — Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4; — Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7; — La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58. On appelle α la probabilité que le client loue un vélo de route, avec 0 ⩽α ⩽1. On considère les évènements suivants : • R : « le client loue un vélo de route »; • E : « le client loue un vélo électrique »; • R et E, évènements contraires de R et E. 1. On complète l’arbre proposé. R α E 0,4 E 1−0,4 = 0,6 R 1−α E 0,7 E 1−0,7 = 0,3 2. a. D’après la formule des probabilités totales : p(E) = p (R ∩E)+p ³ R ∩E ´ = α×0,4+(1−α)×0,7 = 0,4α+0,7−0,7α = 0,7−0,3α. b. La probabilité que le client loue un vélo électrique est p(E) = 0,58. Or p(E) = 0,7−0,3α. Donc 0,7−0,3α = 0,58 ce qui équivaut à 0,7−0,58 = 0,3α ou encore 0,12 = 0,3α soit α = 0,4. 3. On sait que le client a loué un vélo électrique. La probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain est : pE ³ R ´ = p ³ R ∩E ´ p(E) = (1−0,4) ×0,7 0,58 = 0,42 0,58 ≈0,72. L’année 2022 4. La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est : p ³ R ∩E ´ = 0,42. 5. Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de 25 euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de 35 euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros. On appelle X la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée. a. On a quatre possibilités. • La location d’un vélo de route non électrique coûte 25 (. Cela correspond à l’événement R ∩E de probabilité 0,4×0,6 = 0,24. • La location d’un vélo de route électrique coûte 25+15 soit 40 (. Cela correspond à l’événement R ∩E de probabilité 0,4×0,4 = 0,16. • La location d’un vélo tout terrain non électrique coûte 35 (. Cela correspond à l’événement R ∩E de probabilité 0,6×0,3 = 0,18. • La location d’un vélo tout terrain électrique coûte 35+15 soit 50 (. Cela correspond à l’événement R ∩E de probabilité 0,6×0,7 = 0,42. On établit la loi de probabilité de X : xi 25 35 40 50 pi = p(X = xi) 0,24 0,18 0,16 0,42 b. L’espérance mathématique de X est : E(X ) = X xi × pi = 25×0,24+35×0,18+40×0,16+50×0,42 = 39,7. Le coût moyen d’une location est donc de 39,70 euros. 6. Lorsqu’on choisit 30 clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique. On rappelle que la probabilité de l’événement E est : p(E) = 0,58. a. Il s’agit d’une répétition de 30 épreuves identiques et indépendantes n’ayant que deux issues, la probabilité du succès pour une épreuve étant égale à 0,58. Donc la variable aléatoire Y qui donne le nombre de succès sur 30 tirages, suit une loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,58. b. La probabilité qu’un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique est : p(Y = 20) = Ã 30 20 ! ×0,5820 ×(1−0,58)30−20 ≈0,095. c. La probabilité qu’un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique est : p(Y ⩾15) = 1−p(Y < 14) ≈1−0,14190 ≈0,858. 9 septembre 2022 2 Métropole, Antilles-Guyane - corrigé L’année 2022 Exercice 2 7 points Thèmes : suites, fonctions 1. On considère les suites (an) et (bn) déﬁnie par a0 = 1 et, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,5an +1 et bn = an −2. On peut afﬁrmer que : a. (an) est arithmétique; b. (bn) est géométrique; c. (an) est géométrique; d. (bn) est arithmétique. bn = an −2 donc an = bn +2. bn+1 = an+1 −2 = 0,5an +1−2 = 0,5(bn +2)−1 = 0,5bn +1−1 = 0,5bn donc la suite (bn) est géométrique de raison 0,5. Réponse b. Dans les questions 2. et 3., on considère les suites (un) et (vn) déﬁnies par : u0 = 2, v0 = 1 et, pour tout entier naturel n : ½ un+1 = un +3vn vn+1 = un + vn. 2. On peut afﬁrmer que : a. ½ u2 = 5 v2 = 3 b. u2 2 −3v2 2 = −22 c. u2 v2 = 1,75 d. 5u1 = 3v1. ½ u1 = u0 +3v0 = 2+3×1 = 5 v1 = u0 + v0 = 2+1 = 3 ½ u2 = u1 +3v1 = 5+3×3 = 14 v2 = u1 + v1 = 5+3 = 8 u2 v2 = 14 8 = 1,75 Réponse c. 3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python : def valeurs() : u = 2 v = 1 for k in range(1,11) c = u u = u + 3*v v = c + v return (u,v) Ce programme renvoie : a. u11 et v11; b. u10 et v11; c. les valeurs de un et vn pour n allant de 1 à 10; d. u0 et v10. Réponse a. 9 septembre 2022 3 Métropole, Antilles-Guyane - corrigé L’année 2022 Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction f deux fois dérivable sur l’intervalle [−4 ; 2]. On note f ′ la fonction dérivée de f et f ′′ la dérivée seconde de f . On donne ci-dessous la courbe représentative C ′ de la fonction dérivée f ′ dans un repère du plan. On donne de plus les points A(−2 ; 0), B(1; 0) et C(0; 5). 4. La fonction f est : a. concave sur [−2 ; 1]; b. convexe sur [−4 ; 0]; c. convexe sur [−2 ; 1]; d. convexe sur [0; 2]. La fonction f ′ est croissante sur [−4 ;0] donc la fonction f est convexe sur cet intervalle. Réponse b. 5. On admet que la droite (BC) est la tan- gente à la courbe C ′ au point B. On a : a. f ′(1) < 0; b. f ′(1) = 5; c. f ′′(1) > 0; d. f ′′(1) = −5. Le coefﬁcient directeur de la droite (BC) est égal à f ′′(1). Réponse d. 0 1 0 1 C ′ A B C −4 b b b 6. Soit f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = ¡ x2 +1 ¢ ex. La primitive F de f sur R telle que F(0) = 1 est déﬁnie par : a. F(x) = ¡ x2 −2x +3 ¢ ex ; b. F(x) = ¡ x2 −2x +3 ¢ ex −2; c. F(x) = µ1 3x3 + x ¶ ex +1; d. F(x) = µ1 3x3 + x ¶ ex. Pour la fonction F de la réponse a. on a F(0) = 3, et pour la fonction F de la réponse d., on a F(0) = 0. On peut donc éliminer ces deux réponses et tester les deux autres. Si F(x) = ¡ x2 −2x +3 ¢ ex −2, alors F ′(x) = (2x −2) ex + ¡ x2 −2x +3 ¢ ex = ¡ x2 +1 ¢ ex = f (x). De plus F(0) = 3e0 −2 = 1. Réponse b. Exercice 3 7 points Thèmes : fonction logarithme, suites On considère la fonction f déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x −x lnx, où ln désigne la fonction logarithme népérien. Partie A 1. On cherche la limite de f (x) quand x tend vers 0. On sait que lim x→0 x>0 x lnx = 0 donc lim x→0 x>0 f (x) = 0. 9 septembre 2022 4 Métropole, Antilles-Guyane - corrigé L’année 2022 2. On cherche la limite de f (x) quand x tend vers +∞. f (x) = x (1−lnx). lim x→+∞lnx = +∞donc lim x→+∞1−lnx = −∞ Par produit de limites, on déduit : lim x→+∞f (x) = −∞ 3. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. a. Pour tout réel x > 0, on a : f ′(x) = 1−1×ln x −x × 1 x = −lnx. b. On détermine le signe uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-bac-spe-metropole-j2-sept-2022-fh.pdf