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Partie II: Analyse mathématique (7 CM, 6 TD) October 14, 2022 1 / 24 CM 6 : Rép

Partie II: Analyse mathématique (7 CM, 6 TD) October 14, 2022 1 / 24 CM 6 : Répresentations graphiques des fonctions d’une variable réelle. 1 Intervalles. Ensembles particuliers dans le plan. 2 Fonctions d’une variable réelle. 3 La fonction exponentielle. 4 La fonction logarithme. 5 Representation log-linéaire des fonctions exponentielles. 6 La fonction puissance. 7 Representation log-log des fonctions puissances. 13 −14 octobre 2022 October 14, 2022 2 / 24 Intervalles. Ensembles particuliers dans le plan. Intervalles. On note par le symbole R, l’ensemble des nombres réels. Soient a < b deux nombres réels. L’ensemble de tous les nombres entre a et b est appelé intervalle. On emploie plusieurs notations selon l’appartenance ou la non-appartenance des extrémités dans l’intervalle: [a, b] = {x ∈R : a ≤x ≤b}, intervalle fermé; ]a, b[ = {x ∈R : a < x < b}, intervalle ouvert; [a, b[ = {x ∈R : a ≤x < b}, ]a, b] = {x ∈R : a < x ≤b}. On emploie les notations [a, ∞[= {x ∈R : a ≤x}, ] −∞, a] = {x ∈R : x ≤a} October 14, 2022 3 / 24 Intervalles. Ensembles particuliers dans le plan. Ensembles particuliers des points dans le plan. On muni le plan d’un système d’axes orthogonaux xOy. On a déjà vu que l’on peut "attribuer des adresses" aux points du plan, ceci étant le rôle des coordonnées. Quelques ensembles des points à connaître: Équations des axes. L’axe des abscisses est l’ensemble des points (x, 0). Son équation est y = 0. Axe des ordonnées est l’ensemble des points (0, y). Son équation est x = 0. Démi-espaces: positif : y ≥0, négatif y ≤0. Quadrants: (I) : x ≥0, y ≥0. (II) : x ≤0, y ≥0. (III) : x ≤0, y ≤0. (IV ) : x ≥0, y ≤0. Rectangles: [a, b] × [c, d] = {(x, y) : x ∈[a, b] , y ∈[c, d]}. October 14, 2022 4 / 24 Fonctions d’une variable réelle. Fonctions d’une variable réelle. Definition On considère A un sous-ensemble de R. Une fonction sur A est une règle d’association des éléments de A à des nombres réels. On va utilser la notation suivante : x − →f (x) . Le graphe d’une fonction est l’ensemble de points (x, f (x)) pour tout x ∈A. Exemple-Exercice. Représenter les points d’abscisses {0, ±1, ±2} de la fonction x →x2. Attention! Une courbe dans le plan est le graphe d’une fonction sur A si pour tout x0 ∈A toute droite d’équation x = x0 intersecte le graphe de f dans un seul point. October 14, 2022 5 / 24 Fonctions d’une variable réelle. Fonctions élémentaires I Ci-dessous une liste de fonctions à connaître (domaine de définition, propriétés de base). On peut utiliser la polycopié de Tamara Servi et Pierre Poulain, polycopié qui est disponible sur moodle. 1 Fonctions linéaires : x − →ax + b. 2 Fonctions quadratiques : x − →ax2 + bx + c, 3 et plus généralement la fonctions polynomiales : x − →anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + ax + a0. 4 Fonctions rationnelles simples: x − →ax + b cx + d . 5 Fonctions trigonométriques x →sin x, x →cos x, x →tan x, x →cot x. October 14, 2022 6 / 24 Fonctions d’une variable réelle. Fonctions élémentaires II 6 Fonctions exponentielles et logarithme x − →ax et x − →loga x. 7 Fonctions puissances x →xa. October 14, 2022 7 / 24 Fonctions d’une variable réelle. Notions générales à voir/revoir On suppose que les notions suivantes ainsi que les significations géométriques sont connues : monotonie : fonction monotone/croissante/décroissante parité : fonction paire/impaire périodicité : fonction périodique. fonction bornée/non-bornée. October 14, 2022 8 / 24 La fonction exponentielle. Exponentielle de base 2 Exercice On considère la fonction x − →2x. Calculer les valeur de cette fonction pour x = −4, −3, ..., 3, 4. Représenter ces points dans un système d’axes et esquisser le graphe de cette fonction. x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 2x 1 16 = 0.0625 1 8 = 0.125 1 4 = 0.25 1 2 = 0.5 1 2 4 8 16 October 14, 2022 9 / 24 La fonction exponentielle. Exponentielle de base 10 Exercice On considère la fonction x − →10x. Calculer les valeur de cette fonction pour x = −4, −3, ..., 3, 4. Représenter ces points dans un système d’axes et esquisser le graphe de cette fonction. x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 10x 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1.000 10.000 October 14, 2022 10 / 24 La fonction exponentielle. Définition et propriétés. Definition On fixe a > 0. La fonction exponentielle de base a est : x − →ax. Propriétés de base 1. 1 Domaine de définition = R. 2 Pour tout x on a ax > 0. 3 a0 = 1, a1 = a, a−1 = 1 a, a 1 n = n √a. 4 ax × ay = ax+y. 5 (ax)y = axy. En particulier, ax = 1 ax . October 14, 2022 11 / 24 La fonction exponentielle. Propriétés de base 2. Le cas a > 1 1 x − →ax est croissante. 2 x − →ax est convexe. 3 limx→+∞ax = +∞. 4 limx→−∞ax = 0. Le cas 0 < a < 1 1 x − →ax est decroissante. 2 x − →ax est convexe. 3 limx→+∞ax = 0. 4 limx→−∞ax = +∞. October 14, 2022 12 / 24 La fonction exponentielle. L’exponentielle de base e, le nombre d’Euler On emploie beaucoup l’exponentielle en base e = 2, 7182... le nombre d’Euler. e = lim n→+∞ 1 + 1 n n . L’exponentielle de base e , c’est à dire la fonction x − →ex est notée aussi avec x − →exp (x) . October 14, 2022 13 / 24 La fonction logarithme. La fonction logarithme. Definition Soient a, b > 0 et x ∈R. On dit que x est le logarithme de b en base a et on note x = loga b si et seulement si ax = b. Exercice-Exemple. Calculer log10 x pour x ∈{0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100, 1.000, 10.000}. Representer ces points dans un système d’axes orthogonaux et esquiser le graphe de la fonction logarithme. Propriétés de base 1. 1 Domaine de définition = ]0, +∞[. 2 loga (xy) = loga x + loga y. log2 (6) = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3. 3 loga 1 x = −loga x. log5 1 11 = −log5 11. 4 loga(xy) = y loga x log2 9 = log2 32 = 2 log2 3. 5 loga x = logb x loga b. log4 x = log2 x log2 4 = 1 2 log2 x. October 14, 2022 14 / 24 La fonction logarithme. Propriétés de base 2. Le cas a > 1 1 x − →loga x est croissante. 5 < 7 donc log10 5 < log10 7. 2 x − →loga x est concave. 3 limx→0 ax = −∞. 4 limx→+∞ax = +∞. Le cas 0 < a < 1 1 x − →loga x est decroissante. 2 x − →ax est convexe. 3 limx→+∞ax = +∞. 4 limx→−∞ax = + −∞. October 14, 2022 15 / 24 La fonction logarithme. La fonction logarithme est l’inverse de la fonction exponentielle. loga ax = x loga a = x. aloga x = x. Les graphes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la première bissectrice. October 14, 2022 16 / 24 La fonction logarithme. Quelques notations spéciales. Pour les logarithmes en bases e (le nb d’Euler) et 10 on emploie les notations suivantes: loge x = ln x, (logarithme naturel). log10 x = lg x, (logarithme décimal). Exercice Calculer lg 100, lg √ 10, lg 1, lg 0.01, ln e, ln 1 e , ln e2, ln 1. October 14, 2022 17 / 24 Representation log-linéaire des fonctions exponentielles. Representation log-linéaire des fonctions exponentielles. L’idée : Si l’on considère la fonction f (x) = bax alors log10 f (x) = log10 b + (log10 a) × x. On observe que log10 f (x) est une fonction linéaire de x donc son graphe est une droite. Definition La répresentation log-linéaire de f (x) est le graphe de la fonction x − →log10 f (x) . Exemple. On considère la fonction: f (x) = 10 × 6x Sachant que log10(6) ≈0.8, réprésenter f (x) dans un graphe à une échelle log-linéaire. log10 f (x) = log10 10 + (log10 6) × x = 1 + (log10 6) × x ≈1 + 0.8 × x. October 14, 2022 18 / 24 La fonction puissance. La fonction puissance. Definition Soit a ∈R ; la fonction x ∈]0, ∞[− →xa s’appele fonction puissance d’expossant a ∈R. Attention! √x = x 1 2, x−1 = 1 x . October 14, 2022 19 / 24 La fonction puissance. Ces fonctions apparaissent naturelement dans uploads/Ingenierie_Lourd/ cm-momab.pdf