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EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) On considère les suites réelles ( Un ) , ( Vn ) e

EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) On considère les suites réelles ( Un ) , ( Vn ) et ( Sn ) définies sur IN par : { 0 n n n +1 = 0 U 2U + V = U 3 ; { 0 n n n +1 = 12 V U + 3 V = V 4 et Sn = Vn - Un . 1 ) a ) Montrer que ( Sn ) est une suite géométrique . b ) Exprimer alors , Sn en fonction de n puis déduire  n + lim Sn . 2 ) a ) Montrer que pour tout entier naturel n ; Un < Vn . b ) Montrer que la suite ( Un ) est croissante et que ( Vn ) est décroissante sur IN . c ) Justifier que les deux suites ( Un ) et ( Vn ) convergent vers la même limite l . 3 ) a ) Montrer que pour tout entier naturel n ; 3 Un + 4 Vn = 48 . b ) Déduire alors la valeur de l . EXERCICE N : 2 ( 5 points ) A ) 1 ) Montrer que l'équation ( E ) : x 3 + 6 x - 2 = 0 admet dans IR une unique solution  . 2 ) Donner un encadrement de  d'amplitude 10 - 1 . B ) On se propose dans cette partie de déterminer la valeur exacte de  . 1 ) On considère dans les équations suivantes ( E 1 ) : Z 3 = - 2 et ( E 2 ) : Z 3 = 4 . a ) Justifier que les solutions de ( E 1 ) sont : a1 = - 3 2 , a2 = π i 3 3 2 e et a3 = π - i 3 3 2 e . b ) Justifier que les solutions de ( E 2 ) sont : b1 = 3 4 , b2 = 2π i 3 3 4 e et b3 = 2π - i 3 3 4 e . c ) Vérifier que : a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = - 2 . 2 ) Soient a et b deux nombres complexes vérifiant : a 3 + b 3 = 2 et ab = - 2 . a ) Vérifier que ( a + b ) est une solution de l'équation ( E ' ) : Z 3 + 6 Z - 2 = 0 . b ) Déduire alors dans les solutions de l'équation ( E ' ) . c ) Conclure . - 1 - Lycée Houmet Souk Prof : Loukil Mohamed Devoir de Contrôle N : 1 Durée : 2 Heures 4 Mathématiques 08 - 11 - 2016 EXERCICE N : 3 ( 5.5 points ) A ) Prouver que la fonction tan est une bijection de ] - π 2 ; π 2 [ sur IR . B ) Soit n un entier naturel non nul et fn la fonction définie sur [ 0 ; π 2 [ par : fn ( x ) = x + n - n tan x 1 ) a ) Justifier que fn est strictement décroissante sur [ 0 ; π 2 [ . b ) En déduire que l'équation : fn ( x ) = 0 admet une unique solution n dans [ 0 ; π 2 [ . c ) Vérifier que n  ] π 4 ; π 2 [ et que tan ( n ) = 1 + n n . 2 ) On définit sur IN* la suite ( n ) . a ) Montrer que pour tout n  IN* ; fn+1 ( n ) < 0 . b ) Déduire que la suite ( n ) est décroissante sur IN * . c ) Prouver que la suite ( n ) est convergente et déterminer sa limite . EXERCICE N : 3 ( 5 points ) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ) , on considère le point A d'affixe ( - 1 ) et les points M , N et P d'affixes respectives Z , Z 2 et Z 3 où Z est un nombre complexe non nul différent de ( - 1 ) et 1 . 1 ) Montrer que ( le triangle MNP est rectangle en P ) si et seulement si ( 1+ Z Z est imaginaire pur ) . 2 ) Soit ( C ) l'ensemble des points M tels que le triangle MNP soit rectangle en P . a ) On pose : Z = x + i y où x et y sont des réels . Ecrire 1+ Z Z sous forme cartésienne . b ) Déduire que ( C ) est le cercle de diamètre [ OA ] privé des points O et A . 3 ) Dans la figure de l'annexe ci-jointe ,on a tracé le cercle ( C ) et on a placé un point M d'affixe Z sur ( C ) et son projeté orthogonal H sur l'axe ( O , u ) . On se propose de construire les points N et P d'affixes respectives Z 2 et Z 3 tels que MNP soit rectangle en M . a ) Montrer que :    , , ( OM ON ) ( u OM )( 2 π ) puis que    , , ( ON OP ) ( u OM )( 2 π ) . b ) Montre que : OH = OM 2 . c ) Donner un procédé de construction des points M et P puis les construire . - 2 - Nom et Prénom : Annexe à rendre avec la copie ( C ) - 3 - uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2016-2017-mr-loukil-mohamed.pdf