1 Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2 x 1 cos( x) si x 0 x f (x) x x 1 x s

1 Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2 x 1 cos( x) si x 0 x f (x) x x 1 x si x 0 + − π  <  =   + + − ≥  1) a) Calculer x lim f (x) . →+∞ Interpréter graphiquement le résultat obtenu b) Calculer alors x 2 lim f(tanx) . − π   →    2) Montrer que f est continue en 0 4) a) Montrer que pour tout x 2 x 0, ona : f (x) 1 x + < ≤ ≤ b) En déduire x lim f(x) →−∞ c) Calculer alors x 1 1 lim f x 1 − →     −   3) Montrer que l’équation f(x) 0 = admet au moins une solution α dans 2; 1 − −     On considère la suite n (u ) définie sur ℕ par 0 n 1 n n 3 u 4 u u cos(u ) , n + π  =    = − ∀∈  ℕ 1) Montrer que la fonction f : x x cosx − ֏ est croissante sur ℝ 2) a) Montrer par récurrence que pour tout n 3 3 n , u 4 2 π π ∈ ≤ ≤ ℕ b) Etudier la monotonie de la suite n (u ) c) En déduire n que (u ) est convergente et déterminer sa limite 3) a) Montrer que n k n 1 k 0 3 cos(u ) u 4 + = π = − ∑ b) En déduire n k n k 0 lim cos(u ) →+∞ = ∑ 4) Soit x un réel Développer 2 x x i i 2 2 e e −   −     puis déduire que 2 x 1 cosx sin 2 2 −  =     5) Pour tout n∈ℕ, on pose n 2 k n k 0 u 1 1 v sin 2 n 1 2 =   = − +   +   ∑ a) Montrer que pour tout n ∈ℕ n 1 n u 3 ,v 2(n 1) 8(n 1) + π = − + + b) Calculer alors n n n n lim v et lim nv →+∞ →+∞ Lycée de Sbeïtla A-S : 2017-2018 Devoir de contrôle N° 01 Durée : 2 heures Mathématiques 4ème Maths Professeur Elabidi Zahi Exercice 01 (4points) Exercice 02 (8points) 2 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v)     Soit θ un réel de 0; 2 π       On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z cos , ≠ θ associe le point M' d’affixe z' telle que 2 z 1 z' 2z 2cos − = − θ 1) a) Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation 2 (E) : z (2cos )z 1 0 − θ + = b) Résoudre, dansℂ, l’équation (E) c) Ecrire sous la forme exponentielle les solutions de l’équation (E) 2) Soit A et B les points d’affixes respectives i i e et e θ −θ a) Montrer que pour tout { } i z \ cos ; e−θ ∈ θ ℂ on a : 2 i i i i z' e z e z' e z e θ θ −θ −θ   − − =   − −   b) En déduire que pour tout point M distinct de A et de B on a : 2 M'A MA M'B MB   =       et (M'B ,M'A ) 2(MB ,MA ) 2 ≡ π             3) a) Montrer que si M appartient au cercle C de diamètre AB     alors M' appartient à AB     b) C coupe (O,u)   en E et F. Montrer que E et F ont la même image par f qu’on précisera Exercice 03 (8points) uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2017-2018-mr-elabidi-zahi.pdf

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