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EASY-MATHS PARTNERSHIP MINISTÈRE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES Année scolaire :

EASY-MATHS PARTNERSHIP MINISTÈRE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES Année scolaire : 2012-2013 G.S.B TOUSSAINT ANTOINE Série : C Durée : 4 heures Baccalauréat BLANC N◦1 Session de : Avril 2013 Epeuve de : MATHÉMATIQUES Coefﬁcient : 05 www.easy-maths.org Examinateur : Romaric TCHAPNGA L’épreuve comporte trois exercices et un problème. La qualité de la rédaction et le soin apporté au tracé des ﬁgures seront pris en compte dans l’évaluation de la copie du candidat. EXERCICE I 5 points Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct ³ O, − → u , − → v ´ (unité graphique : 5 cm). On considère les points A d’afﬁxe p 2, et B d’afﬁxe i. Soit C le point tel que OACB soit un rectangle. On note I le milieu du segment [OA], J le milieu du segment [BC] et K le milieu du segment [AI]. Placer ces points sur une ﬁgure. 1. Soit s la similitude d’écriture complexe z′ = −i p 2 2 z + p 2 2 +i. a. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude s. 0,5 pt b. Determiner les images par s des points O, A, B, C. 1 pt 2. a. Montrer que les points A, B et Ωsont alignés. 0,5 pt b. Montrer de même que les points I, C, Ωsont alignés. 0,5 pt c. En déduire une construction de Ω. Placer Ωsur la ﬁgure. 0,5 pt 3. a. Montrer que Ωappartient aux cercles Γ1 et Γ2 de diamètres respectifs [BC] et [AI]. 0,5 pt b. Montrer que − → JΩet − → JK sont colinéaires. 0,5 pt c. Montrer que la droite (ΩO) est la tangente commune à Γ1 et Γ2. 0,5 pt Représenter les cercles Γ1, Γ2 et la droite (ΩO) sur la ﬁgure. 0,5 pt EXERCICE II 4 points Une suite (Sn) est déﬁnie pour n > 0 par Sn = n X p=1 p3. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1. 1. Montrer que, pour tout n > 0, on a : Sn = µn(n +1) 2 ¶2 . 0,75 pt 2. On suppose que n est pair. Soit q l’entier naturel non nul tel que n = 2q. a. Montrer que PGCD(S2q ; S2q+1) = (2q +1)2PGCD ¡ q2 ; (q +1)2¢ . 0,75 pt b. Calculer PGCD (q ; q +1).Puis calculer PGCD ¡ S2q ; S2q+1 ¢ . 1 pt 3. On suppose que n est impair. Soit q l’entier naturel non nul tel que n = 2q +1. a. Montrer que les entiers 2q +1 et 2q +3 sont premiers entre eux. 0,25 pt b. Calculer PGCD ¡ S2q+1 ; S2q+2 ¢ . 0,5 pt 4. Déduire qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux. 0,75 pt EXERCICE III 3,5 points Le plan est muni d’un repère orthonormé ³ O, − → ı , − →  ´ . Soit A le point de coordonnées (−2 : 0) et − → u = p 3 2 − → i −1 2 − → j et − → v = 1 2 − → i + p 3 2 − → j . 1 EASY-MATHS PARTNERSHIP 1. Montrer que l’expression analytique de l’afﬁnité orthogonale f d’axe (∆) : x = −2 et de rapport 1 2 est :    x′ = 1 2x −1 y′ = y . 0,75 pt 2. Déterminer une équation réduite de l’image (Γ) du cercle de centre A et de rayon 2 par l’afﬁnité f. Preciser ses éléments caractéristiques. 1 pt 3. Soit (C) l’ensemble des points m(x :y) dans ³ O, − → u , − → v ´ d’équation : 13x2 +7y2 +6xy p 3+32x p 3+32y +48 = 0. a. Déterminer une équation réduite de (C) dans le repère ³ O, − → ı , − →  ´ . 1 pt b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (C). 0,75 pt PROBLEME 7,5 points Le problème comporte deux parties indépendantes A et B. Partie A : On considère la fonction numérique f déﬁnie sur ] −∞; 1[ par : f (x) = 2 (x −1)2e x+1 x−1. On désigne par (C f ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ³ O, − → ı , − →  ´ , l’unité graphique étant 2 cm. 1. Calculer les limites de f aux bornes de ]−∞; 1[. 0,5 pt 2. En déduire une asymptote à la courbe (C f ). 0,25 pt 3. Dresser le tableau des variations de la fonction f . 0,75 pt 4. Tracer la courbe (C f ). 0,5 pt 5. Déterminer une primitive de f sur ]−∞; 1[. 0,5 pt 6. Soit α réel tel que 0 < α < 1, déterminer : g(α) = Zα 0 f (x) dx. puis calculer la limite de g(α) quand α tend vers 1 ? 0,75 pt 7. Quelle est l’aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f , l’axe des abscisses, les droites d’équations respectives x = −α et x = α ? 0,5 pt 8. a. Montrer que l’équation f (x) = 1 2 a deux solutions dont l’une est - 1. 0,5 pt b. On notera β l’autre solution. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de β. 0,5 pt 9. Soit a un élément de ] −∞; 1[. Déterminer graphiquement, en fonction de a, le nombre de solutions de l’équation f (x) = f (a). 0,5 pt Partie B : On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1, I designe le centre de gravité de CFH. 1. a. Montrer que les points A, G et I appartiennent au plan mé- diateur de [CH] et à celui de [CF]. 0,75pt b. En déduire que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH) et qu’elle passe par le point I. 0,5 pt 2. On considère le repère orthonormé direct de l’espace ³ A,− → AB,− − → AD,− → AE ´ a. Calculer le volume du tétraède CFGI. 0,25 pt b. En déduire la distance de G au plan (CFH). 0,25 pt 3. S(ABG) et S(EFC) désignent les reﬂexions respectivement par rap- port au plan (ABG) et (EFC). Donner la nature de S(ABG)◦S(EFC). 0,5pt A B C D E F G H 2 uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-c-blanc-2013-colllll.pdf