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1 2020-2021 IA DE DIOURBEL CLASSE 2ndeS L.S.E.D DEVOIR DE MATHÉMATIQUES DURÉE :

1 2020-2021 IA DE DIOURBEL CLASSE 2ndeS L.S.E.D DEVOIR DE MATHÉMATIQUES DURÉE :4heures EXERCICE1(4pts) A) Résoudre dans R2 le système suivant : 2x −3y = −8 −x + 5y = 11 , B) En déduire la résolution dans Z2 du système suivant :      2E(x + 1 2) −3E(y −4 3) = −8 −E(x + 1 2) + 5E(y −4 3) = 11 , C) Résoudre dans R en discutant suivant les valeurs de θ le système suivant : 2θx −y = −4 −x + θy = 2 EXERCICE2(4pts) On considére un triangle ABC rectangle en A. M et N les points du plan tels que − − → AM = −2 3 − − → AB et − − → AN = −2 3 − → AC. 1. Démontrer que le couple de vecteurs ( ⃗ BA, ⃗ BC) déﬁnit une base du plan. 2. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, M et N dans le repère (B, ⃗ BA, ⃗ BC) 3. En déduire que (MN) est paralélle à (BC). 4. Les points S et T sont les milieux respectifs des segments [BC] et [MN]. a) Déterminer les coordonnées des points S et T dans le repère (B, ⃗ BA, ⃗ BC) b) En déduire que les points A,S et T sont alignés. 5. On désigne par G = bar{(A, 1); (B, 2); (C, −2)} et G′ = bar{(A, 1); (M, 2); (N, −2)}. Les points A, GetG′ sont-ils alignés ? EXERCICE3(6pts) On étudie dans cet exercice la droite de SIMSON. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,⃗ i,⃗ j); on considère les points A(2, 2), B(−2, 0) et C où C est le symétrie de B par rapport à O 1. Déterminer l’équation paramètré de la médiatrice du segment [BC]. 2. Déterminer l’équation cartésienne de la médiatrice du segment [AC]. 3. En déduire les coordonnées du centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABC, ainsi que l’équation réduite du cercle (C). 4. On désigne par Dθ le point de coordonnées (1, E(|θ|)) où θ est un paramétre réel. Déterminer l’ensemble des valeurs de θ pour que Mθ appartient au cercle. 5. Déterminer les coordonnées des points E, F et G projetés orthogonaux du point M3 respectivement sur les droites (AB), (AC) et (BC) 6. En déduire que les points E, F et G sont alignés. 7. Déterminer les coordonnées des points E′, F ′ et G′ projetés orthogonaux du point M4 respectivement sur les droites (AB), (AC) et (BC). 8. En déduire que les points E′, F ′ et G′ ne sont pas alignés. 9. Que peut-on conjecturer ? GEOM DIFF Y. MBODJI and M.DIOP c ⃝Université Cheikh Anta Diop de Dakar / 2021 2 (La droite qui passe par E, F et G est appelé la droite de SIMSON du triangle ABC relative á M3) EXERCICE4(6pts) Étant donné un point A(x0, y0) du plan et (D) une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0, on appelle distance du point A par rapport á (D) le réel noté d(A, (D)) déﬁnie par : d(A, (D)) = |ax0 + by0 + c| √ a2 + b2 . Partie A Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,⃗ i,⃗ j); on considère la droite (D) d’équation y = −x + 2 et (Cθ)) l’ensemble d’équation x2 + y2 −2E(θ −π)x −2E(θ −π)y −2 = −2E2(θ −π) où θ est un paramétre réel. 1. Montrer que (Cθ)) est un cercle de centre Iθ et de rayon R á préciser. 2. En déduire le lieu géomètrique du point Iθ lorsque θ décrit R. 3. Déterminer la distance du point Iθ par rapport á la droite (D). 4. En déduire en fonction des valeurs de θ la position relative de (D) et (Cθ). 5. Déterminer les points d’intersections de (D)) avec (C5). Partie B Étant donné un point M du plan on appelle puissance du point M par rapport Ã un cercle (C) de centre A et de rayon R le réel noté P(M, C), déﬁni par : P(M, C) = AM2 −R2. Soit (C) et C′) deux cercles du plan ; on dit qu’un point M du plan appartient á l’axe radical des deux cercles si P(M, C) = P(M, C′). 1. Déterminer la puissance du point M(1, 2) par rapport á (Cθ). 2. En déduire les positions du point M(1, 2) par rapport á (Cθ). 3. Déterminer l’ensemble des valeurs de θ pour que le point N(−1, −2) appartient á l’axe radical de (C0) et (Cθ). Bonus :Un peut d’arithmètique Soient a et b deux entiers relatifs tels que b soit non nul. On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier k tel que a = bk. Par exemple 4 divise 12 car 12 = 4 × 3; 7 divise −21 car −21 = 7 × 3. Soit l’équation (E) :ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, bc et d sont des entiers relatifs et α un entiers relatif. 1. Démontrer que α est solution de (E) si et seulement si α divise d. 2. Application : trouver les solutions entière de l’équation (E) :−x3 + 4x2 + x −6 = 0. LA FOLIE, C’EST SE COMPORTER DE LA MÊME MANIÈRE ET S’ATTENDRE À UN GEOM DIFF Y. MBODJI and M.DIOP c ⃝Université Cheikh Anta Diop de Dakar / 2021 uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-mathematiques-g5lsed-du-2nde-semestre.pdf