Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée pilote 15 octobre 1963 - Bizerte Prof: Mme Nemri Fatma Bayoudh Classe :4è

Lycée pilote 15 octobre 1963 - Bizerte Prof: Mme Nemri Fatma Bayoudh Classe :4èmeSc-exp3 Date : 14/02/2019 Devoir de contrôle n°2 en mathématiques Durée : 2 heures Exercice 1 2 points . Pour chacune des questions suivantes une seule des réponses proposées est exacte, indiquer laquelle. Aucune justification n’est demandée. Dans la figure ci-contre ABCDEFGH est un parallélépipède tel que AB=AD=3, AE=2. On munit l’espace du repère orthonormé( A, 1 3⃗ AB , 1 3⃗ AD, 1 2⃗ AE). 1) det (⃗ HB ,⃗ FD ,⃗ AE ) est a) égal à 0 b) différent de 0 2) ⃗ BH .⃗ EC est égal à a) −1 b) 0 c) −4 3) Le vecteur ⃗ BC⃗ BD est égal à a) ⃗ BF b) 9 2⃗ DH c) ⃗ CD⃗ AD 4) Le plan ( ABG)est a) d’équation2 y−3 z=0 b) le plan médiateur de [CF] c) tangent à la sphère de centre C et de rayon 1 2 CF Exercice 2 7 points L’espace E est rapporté à un repère orthonormé direct (O , ⃗ i, ⃗ j ,⃗ k). On considère les points A (1,1,0);B (−1,−1,0 );C (−2,−2,2)et D (0,0,2). 1) a) Montrer que ABCD est un parallélogramme. b) Soit P le plan (ABCD). Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : x−y=0. c) Déterminer une équation paramétrique de la droite∆ perpendiculaire à P en D. 2) Soit C le cercle du plan P de diamètre [ AB ]. Préciser le centre et le rayon r de C. 3) Pour tout réel a on pose Sa ¿{M (x, y ,z )∈Etelsque x 2+ y 2+z 2−2ax+2ay+2a 2−4=0} a) Montrer que Sa est une sphère de centre I (a ,−a,0)et de rayon 2. b) Montrer que la droite ∆est tangente à la sphère Sa pour tout a∈IR . . 4) On prend dans cette question a=√2. a) Montrer que S.√2 est tangente à P au point O. b) Calculer le volume de la pyramide IABCD . 5) Déterminer les valeurs de a pour lesquelles la sphère Sa coupe le plan P selon le cercle C. Exercice 3 7 points Soit f la fonction définie sur ¿ 1) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter graphiquement le résultat. .b) Montrer quef admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera. c) Expliciter f −1(x ) pour x∈J . 2) Tracer la courbe C de fet C’ de f −1 dans le même repère orthonormé (O , ⃗ i, ⃗ j). 3) Soit g la fonction définie sur ¿ π 2 ,π ¿¿ par g(x)=f −1(1+√sinx) a) Montrer que g (x )= 1 1−sinx pourtout x∈¿ π 2 , π ¿¿. b) Montrer queg réalise une bijection de ¿ π 2 ,π ¿¿ sur ¿ c) Montrer g −1 est dérivable sur ¿ et que(g −1)' (x)= −1 x √2 x−1 , pour tout x∈¿ 4) Soit h la fonction définie sur ¿ π 2 ,π ¿¿ par h(x)= cosx (√1−sinx) 5 a) Vérifier que h(x) ¿ g'(x)√g (x) pourtout x∈¿ π 2 , π ¿¿. b¿ Déduire∫ 5π 6 π cosx (√1−sinx) 5 dx Exercice 4 4 points Soit f la fonction définie sur ¿ 1) a) Justifier que f admet des primitives sur ¿ b) Soit F la primitive de f sur ¿qui s’annule en 0. Montrer que F(x)≥0 pour tout x∈¿ 2) Soit G la fonction définie sur ¿ par G (x)=F(tan 2x) a) Justifier la dérivabilité de G sur ¿ et déterminer G’(x). b) Déduire que G(x)=2tanx−2 x. c ¿Calculer∫ 1 3 f (x)dx Bon travail uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-contole-2-4-sc-2019 2 .pdf