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DEVOIR N°1 Reprendre la solution de l’équation 0 ) 1 ( 2 = − + u x dx du avec 0

DEVOIR N°1 Reprendre la solution de l’équation 0 ) 1 ( 2 = − + u x dx du avec 0 ) 0 ( = u en utilisant trois éléments : x = [0 1 1.5 2] Elément 1 : x1 = 0.0, x2 = 1.0 ;       =             − − 8 4 12 1 24 8 6 8 24 1 2 1 u u Elément 2 : x1 = 1.0, x2 = 1.5 ;       =             − − 8 7 12 1 23 7 17 3 24 1 4 3 u u Elément 3 : x1 = 1.5, x2 = 2.0 ;       =             − 11 10 12 1 27 5 19 1 24 1 5 4 u u Assemblage et CAL :           =           − − 11 18 15 12 1 27 5 0 19 24 7 0 17 21 24 1 La solution est : u2 = u(x=1.0) = 968/1415 = 0.9840 u3 = u(x=1.5) = 103/112 = 0.9196 u4 = u(x=2.0) = 331/336 = 0.9851 DEVOIR N°2 Ecrire un programme MATLAB d’éléments finis qui permet de résoudre dans le domaine [0, 3] l’équation : 0 ) 1 2 ( = − + u x dx du avec 1 ) 0 ( = u . Comparer avec la solution exacte : 2 x x e e u − = et examiner la convergence au point x = 0.5. Elément : 1 x1 = 0 x2 = 1 Ke = -0.6667 0.5000 -2/3 1/2 -0.5000 0.6667 -1/2 2/3 Elément : 2 x1 = 1 x2 = 2 Ke = 0 0.8333 0 5/6 -0.1667 1.3333 -1/6 4/3 Elément : 3 x1 = 2 x2 = 3 Ke = 0.6667 1.1667 2/3 7/6 0.1667 2.0000 1/6 2 Solution MEF Exacte U(0) = 1.0000 1.0000 U(1) = 0.6759 1.0000 U(2) = 0.0592 0.1353 U(3) = -0.0049 0.0025 DEVOIR N°3 Ecrire un programme qui permet de résoudre l’équation suivante : 0 2 2 = − + x u dx u d avec les conditions aux limites : 0 ) 0 ( = u et 0 ) 4 ( = π dx du pour la MEF function [U, x] = EqDevoir3(n) % % d²u/dx² + u = x % u(0) = 0 du(4*pi)= 0 % clc a = 0; b = 4*pi; x = [a:(b-a)/n:b]'; K = zeros(n+1 ) ; F = zeros(n+1,1) ; for i = 1:n j = i+1; t = [i j]; x1 = x(i); x2 = x(j); [Ke,Fe] = MatElt2Nd(x1,x2); K(t,t) = K(t,t) + Ke; F(t) = F(t) + Fe; end; K(1,:) = []; K(:,1) = []; F(1) = []; U = K\F; U = [0;U]; t = a:0.01:b; Ue = t-sin(t); plot(x,U,'- .',t,Ue) return %------------------------------------------- % Calcul de la matrice Ke et du vecteur Fe %------------------------------------------- function [Ke,Fe] = MatElt2Nd(x1,x2) Ke1 = 1/(x2-x1)*[ -1 1 1 -1 ] ; Ke2 = (x2-x1)/6* [ 2 1 1 2]; Ke = Ke1 + Ke2; Fe= (x2-x1)/6 * [2*x1+x2; 2*x2+x1]; return DEVOIR N°4 Evaluer en utilisant l’intégration numérique avec trois points l’intégrale ∫ π − 0 ) cos( dx x e x une première intégration par parties : [ ] π − π − π − − − = ∫ ∫ 0 0 0 ) cos( ) sin( ) cos( x e dx x e dx x e x x x une seconde intégration par parties : [ ] π − π − π − − = ∫ ∫ 0 0 0 ) sin( ) cos( ) sin( x e dx x e dx x e x x x substitution : [ ] [ ] π − π − π − π − −       − − = ∫ ∫ 0 0 0 0 ) cos( ) sin( ) cos( ) cos( x e x e dx x e dx x e x x x x résultat : [ ] [ ] π − π − π − − = ∫ 0 0 0 ) cos( ) sin( ) cos( 2 x e x e dx x e x x x valeur : 913189 0.52160695 2 1 ) cos( 0 = + = π − π − ∫ e dx x e x Intégration Numérique : > ξ + ξ − < = 1 1 2 1 N       π = 0 n X ; ξ π = ξ ξ = d d X d dN dx n 2 Trois points : Point ξ w x ) cos(x e x − w dx f(x) 1 -0.774597 0.555556 0.354063 0.658298 0.574473 2 0.000000 0.888889 1.570796 0.000000 0.000000 3 0.774597 0.555556 2.787530 -0.057754 -0.050400 somme : 0.52407335608425 Quatre points : Point ξ w x ) cos(x e x − w dx f(x) 1 -0.861136 0.347855 0.218127 0.784972 0.428916 2 0.861136 0.347855 2.923466 -0.052474 -0.028672 3 -0.339981 0.652145 1.036755 0.180499 0.184901 4 0.339981 0.652145 2.104837 -0.062031 -0.063544 somme : 0.52160018206183 Six points : Point ξ w x ) cos(x e x − w dx f(x) 1 -0.932470 0.171324 0.106077 0.894301 0.240670 2 0.932470 0.171324 3.035516 -0.047780 -0.012858 3 -0.661209 0.360762 0.532171 0.506105 0.286801 4 0.661209 0.360762 2.609422 -0.063402 -0.035929 5 -0.238619 0.467914 1.195974 0.110714 0.081375 6 0.238619 0.467914 1.945618 -0.052316 -0.038452 somme : 0.52160695976766 DEVOIR N°5 Calculer les périodes propres, les déplacements, les efforts dans les barres et les réactions aux appuis de la structure de trois barres ci-contre : Les trois barres sont faites d’un matériau de module d’élasticité E = 210 000 MPa et de masse volumique ρ = 7800 Kg/m3 . La section des deux barres inclinée est : A1 = 49 cm2. et celle de la barres horizontale est : A2 = 25 cm2. La structure est appuyée sur deux appuis, l’appuis droit est double et celui de gauche est simple. Résultats de calcul de la structure d'assemblage de barres fichier de données : dev5 Nombre de barres : 3 Nombre de noeuds : 3 Déplacements aux noeuds : Noeud Ux Uy 1 -0.00724 +0.00000 2 +0.00000 +0.00000 3 -0.00505 -0.01058 Efforts dans les barres : Barre P 1 +760000.00000 2 -849705.83145 3 -950000.00000 Réactions aux appuis : Appuis Rx Ry 1 +0.00000 +380000.00000 2 -0.00000 +570000.00000 3 +0.00000 -950000.00000 Périodes propres de la structure : mode T 1 0.0098102 2 0.0036356 3 0.0025378 3.0 m 2.0 m 1.5 m 950 KN A2 = 25 cm2 A1 = 49 cm2 A1 = 49 cm2 uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-s 6 .pdf