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1 / 4 Le sujet comporte 4 pages de 1/4 à 4/4 . La page 4/4 est à rendre avec la

1 / 4 Le sujet comporte 4 pages de 1/4 à 4/4 . La page 4/4 est à rendre avec la copie . Exercice N°1 : ( 3 points ) Le tableau ci-dessous donne , pour les années indiqués , le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissances . On désigne par (X,Y) la série statistique double , où X est le rang de l'année et Y est le taux de mortalité infantile pour 1000 naissances . Année 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014 Rang xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Taux yi 37,3 32,3 29,7 24,2 22,1 20,3 18,4 16,4 16,3 1) a - Déterminer , à 10-2 prés , le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y . b - Ecrire une équation de la droite de régression D de Y en X . ( les coefficients seront arrondis au centième ) c - Utiliser cet ajustement pour estimer le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissances en 2020 . 2) On pose Z = ln(Y) . Dans la figure ci-dessous , on a représenté le nuage de points de la série statistique (X,Z) et la droite de régression  de Z en X dont une équation est : Z = - 0,11X + 3,57 a - Justifier qu'on peut modéliser le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissances , par la relation Y = 35,52 e-0,11X . b - Estimer , à l'aide de cet ajustement , le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissances en 2020 . 3) Dans la figure ci-dessous , on a représenté la droite D définie en 1) b , la courbe (C) d'équation Y = 35,52 e-0,11X et le nuage de points de la série (X,Y) . Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adaptable à la situation ? justifier votre réponse . LYCEE SECONDAIRE SIDI ALI BEN AOUN ◄►◄►◄►◄►◄►◄► Devoir de synthèse N°2 MAI 2019 Epreuve : Mathématiques Section : Sciences Techniques Durée : 3 h Coefficient : 3 PROFS : Bouguerra . A & Guedri . J 2 / 4 Exercice N°2 : ( 5 points ) L'espace E est muni d'un repère orthonormé   ,k O,i,j .On considère les points A(1,-2,2) , B(1,0,1) et C(1,1,-1) 1) Soit S l'ensemble des points M(x , y , z) tels que x2 + y2 + z2 + 2x - 4z = 0 . Montrer que S est une sphère de centre I(-1,0,2) et de rayon R = 5 . 2) Soit P le plan passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB) . a - Prouver que le plan P a pour équation cartésienne : 2y - z - 3 = 0 . b - Montrer que P et S sont tangents en un point H dont on précisera ces coordonnées . 3) Soit le plan Q : - 2x + z + 1 = 0 . a - Montrer que le plan Q est tangent à S en B . b - Justifier que les plans P et Q sont sécants suivant une droite  . 4) Soit le point M( 1 α - , ,2 -3  ) où  est un réel . a - Vérifier que le point M varie sur la droite  . b - Calculer le réel (IA IB  ) . IM c - Déterminer alors les points de la droite  tel que le volume du tétraèdre ABIM est égal à 20 3 . 5) On considère le plan  : R 2x + 2y + z + ln m = 0 m avec     m -4 e , e  . a - Montrer que pour tout     m -4 e , e  , le plan m R et la sphère S sont sécants . b - Déterminer le réel m pour que Rm coupe la sphère S suivant un cercle (C) de rayon r = 2 . c - Vérifier que , pour le réel m trouvé , les points B et H appartiennent à Rm . Exercice N°3 : ( 4 points ) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct   O,u,v . 1) On considère les nombres complexes 1 z =1-i et 2 z = 2 +2i . a - Mettre les nombres complexes 1 2 z + z et  1 2 z z sous la forme algébrique . b - En déduire les solutions de l'équation      2 E : z - 1+ 2 +i z+2+ 2 +i 2- 2 =0 . 2) Soient les points A , B et C affixes respectives 1 z =1-i , 2 z = 2 +2i et   3 z = 2+ 2 +i 2- 2 . Dans l'annexe ci-jointe , on a tracé un cercle  Γ de centre O et de rayon R = 6 . a - Vérifier que le point B appartient à  Γ . b - Justifier que 2 3 2 z - z z = i , en déduire que le triangle BOC est rectangle et isocèle en B . c - Construire alors les points A , B et C . 3) Soit H le projeté orthogonal de C sur l'axe des abscisses   O,u . Montrer que l'aire du pentagone OAHCB est égal à 10+ 2 2 . 3 / 4 Exercice N°4 : ( 8 points ) Soit f la fonction définie sur      0 + , par :                   1 x 1 f x 1 + si x 0 x f 0 0 e ,   On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé   O,i,j . 1) a - Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 ( on pourra poser 1 t = x ) . Interpréter graphiquement le résultat . b - Justifier que   xlim f(x) 1 + puis interpréter graphiquement ce résultat . c - Montrer que pour tout      x 0 + ,  , on a :  1 x 3 1 f ' x = e x - puis dresser le tableau de variations de f . d - Prouver que la fonction f admet une fonction réciproque f -1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera . e - Tracer , dans l'annexe ci-jointe , (C) et (C') où (C') est la courbe représentative de f -1 . 2) Soit     x 0 1 ,  . On donne les intégrales suivantes :    G x = t f ' t dt 1 x et    F x = f t dt 1 x . a - Vérifier que t e -1 t est une primitive sur      0 + , de la fonction  t t f ' t . b - En déduire que  G x = e - e -1 1 - x . c - Montrer que :     F x +G x = 2e - x+1 e -1 1 - x . d - Déduire l'expression de  F x . 3) Soit     λ 0 1 ,  , on note  A λ l'aire de la partie du plan limitée par (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=λ et x=1 . a - Donner l'expression de  A λ . b - Calculer   λ 0 lim A λ + puis interpréter graphiquement le résultat obtenu . c - Calculer l'aire de la partie du plan limitée par (C) , (C') et les droites d'équations respectives x =1 et y =1 . 4) Soit n un entier naturel tel que n 1 . a - Montrer que l'équation  1 f x = n admet une unique solution n α dans l'intervalle      0 + , . b - Prouver que la suite   n α est décroissante puis qu'elle est convergente . c - Déterminer la limite de la suite   n α . 4 / 4 Exercice N°3 : Exercice N°4 : uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-synthese-2-4eme-tech-mai2019-fini-pdf.pdf