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Durée : 1 heure 30 [ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ mai 2008 QCM DE MAT

Durée : 1 heure 30 [ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH \ mai 2008 QCM DE MATHEMATIQUES Ce QCM comporte 15 questions. Donner la réponse à chaque question sur la feuille des réponses. Question 1 1,5 points Un élève se présente à deux concours C1 et C2. Ces deux concours sont indépen- dants. Il a une chance sur trois de réussir le concours C1 et une chance sur trois de réussir le concours C2. Pensant augmenter ses chances de réussite, l’élève décide de passer les deux concours. Quelle probabilité P a-t-il de réussir au moins un concours ? A : P = 2 3 B : P = 5 9 C : P = 2 9 D : P = 4 9 E : P = 1 9 Question 2 1 point Donner le domaine de déﬁnition D de la fonction f suivante : f (x) = x −1 ln(x −1) A : D = R+ ∗ B : D =]1 ; +∞[ C : D =]1 ; e[∪]e ; +∞[ D : D =]1 ; 2[∪]2 ; +∞[ E : D =]2 ; +∞[ Question 3 1 point On tire au hasard une boule dans une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10. On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée. Donner la valeur de l’espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X . A : E(X ) = 1 B : E(X ) = 1 10 C : E(X ) = 11 2 D : E(X ) = 5 E : E(X ) = 11 Question 4 1 point La suite (wn)n∈N déﬁnie par : pour tout entier n, wn = 5n −2n 5n +2n , vériﬁe : A : lim n→+∞wn = +∞ B : la suite (wn)n∈N n’a pas de limite C : lim n→+∞wn = 0 D : lim n→+∞wn = −1 E : lim n→+∞wn = 1 Concours GEIPI–POLYTECH A. P. M. E. P. Question 5 1,5 point On considère dans l’espace rapporté au repère ³ O, − → ı , − → , − → k ´ , les deux plans sui- vants : P1 : 2x + y −3z +1 = 0 ; P2 : x −y +2 = 0 Donner l’équation du plan passant par le point O et contenant la droite d’intersec- tion des deux plans P1 et P2. A : x + y −2z = 0 B : x + y + z +3 = 0 C : x + y = 0 D : y −2z = 0 E : 2x + y −3z = 0 Question 6 1,5 point On considère, pour tout entier n ⩾1, l’intégrale : In = Z1 0 xne2x dx. Une intégration par parties permet de trouver une relation entre In et In−1. Quelle est cette relation ? A : In = e2 2 + n 2 In−1 B : In = e2 4 −n −1 2 In−1 C : In = e2 2 −n 2 In−1 D : In = e2 2 −n 2 In−1 +C, C ∈R E : In = 2e2 −2nIn−1 Question 7 1 point La fonction f déﬁnie sur [0 ; 1[ par : f (x) = s −2x2 +5x −3 x2 +6x −7 vériﬁe : A : lim x→1 f (x) = 1 p 2 B : lim x→1 f (x) = +∞ C : lim x→1 f (x) = 0 D : lim x→1 f (x) = 1 2 p 2 E : f n’a pas de limite quand x tend vers 1. Question 8 1,5 point Donner l’ensemble S des réels appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ vériﬁant l’équation : sin2 x + p 3 2 sinx = 0 A : S = ½ 0 ; π ; 4π 3 ; −π 3 ¾ B : S = ½ 0 ; π ; 7π 6 ; 11π 6 ¾ C : S = ½ 0 ; 4π 3 ¾ D : S = ½ 0 ; π ; −π 3 ; −2π 3 ¾ E : S = ½ 0 ; π ; 4π 3 ; 5π 3 ¾ Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 2 mai 2008 Concours GEIPI–POLYTECH A. P. M. E. P. Question 9 1,5 point Donner la solution de l’équation différentielle : y′(x)+2y(x) = e−2x cosx, vériﬁant la condition y(0) = 1. A : f (x) = e−2x cosx B : f (x) = ln ¡ 1+cosxe−2x¢ C : f (x) = (1+sinx)e−2x D : f (x) = −e−2x 2 sinx E : f (x) = 1 2 ¡ e2x +e−2x¢ cosx Question 10 1,5 point On considère la fonction h déﬁnie sur R par : h(x) = (ex −2)(ex +1). On note H sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé ³ O, − → ı , − →  ´ . Donner l’équation de la tangente T à H au point d’intersection de H avec l’axe des abscisses. A : y = x −2 B : y = 3x −ln6 C : y = x +2 D : y = 6(x −ln2) E : y = 2(x −ln2) Question 11 1,5 point Soit g la fonction déﬁnie sur R par : g(x) = 2x2 +3 x2 +1 . Une des cinq afﬁrmations suivantes est exacte. Laquelle ? A : g est majorée par 2 B : Pour tout réel x, on a : g ′(x) = 2x ¡ x2 +1 ¢2 C : Pour tout réel x, on a : g ′(x) < 0 D : La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a pour équation : y = −1 2 x +3 E : La fonction G déﬁnie par : pour tout réel x, G(x) = 2x+ln ¡ x2 +1 ¢ est une primitive de g Question 12 1,5 point On considère, dans le plan rapporté au repère orthonormé ³ O, − → ı , − →  ´ , les points M et N d’afﬁxes respectives : zM = 1+2i et zN = 3+2i. Le milieu I du segment [MN] a pour image, par la rotation de centre O et d’angle π 3 , le point J. Donner l’afﬁxe de J. A : zJ = e 7iπ 12 B : zJ = 2 p 2e 7iπ 12 C : zJ = 2 p 2e 11iπ 12 D : zJ = 2 p 2e −7iπ 12 E : zJ = 4 p 2e−5iπ 12 Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 3 mai 2008 Concours GEIPI–POLYTECH A. P. M. E. P. Question 13 1 point Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la courbe C d’équa- tion : C : y = 1−1 2 x +cosx On note A , l’aire, en unités d’aires, de la partie de plan délimitée par C , les axes du repère et la droite d’équation x = π 2 . Donner la valeur de A . A : A = 1 4 B : A = π 2 −π2 16 C : A = 1+ π 2 −π2 16 D : A = 1+ π 2 −π2 8 E : A = −1+ π 2 −π2 8 Question 14 1,5 point Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B et C de coordonnées : A(2 ; 4), B(−2 ; 1) et C(4 ; 3). On note d la distance du point A à la droite (BC). Donner la valeur de d. A : d = 3 p 2 B : d = 9 p 10 C : d = 1 p 2 D : d = p 10 2 E : d = − 5 p 10 Question 15 1,5 point Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ³ O, − → ı , − →  ´ , soit le point A d’afﬁxe i. On considère la fonction T qui associe à tout point M, différent de A et d’afﬁxe z, le point M′, d’afﬁxe z′, tel que : z′ = i 2(z −i) Alors l’image par T du cercle C de centre A et de rayon 1 est : A : le cercle de centre O et de rayon 0, 5 B : le cercle de centre O et de rayon 2 C : le cercle de centre A et de rayon 0,5 D : le cercle de centre A et de rayon 1 E : le cercle de centre A et de rayon 2 Épreuves communes ENI–GEIPI–POLYTECH 4 mai 2008 uploads/Ingenierie_Lourd/ eni-concours-qcm-2008.pdf