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Chapitre 1 : Espaces vectoriels Sandrine CHARLES : scharles@biomserv.univ-lyon1

Chapitre 1 : Espaces vectoriels Sandrine CHARLES : scharles@biomserv.univ-lyon1.fr Introduction ............................................................................................................................2 Un premier exemple ...........................................................................................................2 Un deuxième exemple ........................................................................................................3 1 Espaces vectoriels...........................................................................................................4 Le point sur….....................................................................................................................5 2 Sous-espaces vectoriels ..................................................................................................6 3 Combinaisons linéaires, générateurs ..............................................................................7 4 Dépendance et indépendance linéaire.............................................................................8 4.1 Famille libre et famille liée.....................................................................................8 4.2 Combinaisons linéaires et dépendance linéaire......................................................9 5 Somme et somme directe..............................................................................................10 5.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels ..............................................................10 5.2 Somme directe......................................................................................................11 5.3 Sous-espaces supplémentaires..............................................................................11 6 Base et dimension d’un espace vectoriel......................................................................12 6.1 Définitions ............................................................................................................12 6.2 Dimension et sous-espace.....................................................................................14 7 Exemples d’utilisation en Biologie...............................................................................15 7.1 Les oiseaux nicheurs rhônalpins...........................................................................15 7.2 Un contre-exemple : Le champ de blé..................................................................16 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (03/02/03) ...................................................................................................................................................................................................... Introduction L’algèbre linéaire est un champ mathématique utilisé dans pratiquement toutes les branches scientifiques. En effet, beaucoup de problèmes vérifient la propriété suivante : si u et v sont deux solutions alors u est aussi une solution, ainsi que si k est un nombre réel ou complexe. De tels problèmes sont dits linéaires et sont plus faciles à résoudre que certains problèmes généraux. v + k u × Un premier exemple Si on considère deux points dans un plan, la droite qui les relie définit une direction, et une flèche sur cette droite définit un sens. A B A B A B Deux points une direction un sens Deux points avec une direction et un sens forment un vecteur du plan noté AB JJJ G . Sur des vecteurs de même origine, on peut définir deux opérations (cohérentes avec ce que vous avez vu des forces en physique) : - L’addition : Règle du parallélogramme A AB C AD + = JJJ G JJJ G JJJ G - Le produit d’un vecteur par un nombre. On obtient un vecteur de même direction et de « longueur » multipliée par λ . Le signe de λ peut alors modifier le « sens » du vecteur résultat : Chapitre 1 : Espaces vectoriels - page 2/16 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (03/02/03) ...................................................................................................................................................................................................... Un deuxième exemple L’expression , dont les coefficients a a appartenant à , est un 2 0 1 2 n n a a x a x a x + + + + … 0 1 2 , , , , n a a … \ polynôme de degré n. On peut comme précédemment définir deux opérations sur les polynômes : - L’addition : ( ) 2 P n x x + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 1 2 2 2 0 1 2 1 1 P+Q Q n n n n n n x x x x x x x x x a a b a b a b a a a a b b b x b b = + + = + + + + ⇒ = + + + + + + + + … … … Le polynôme est également un polynôme de degré n. P+Q - Le produit d’un polynôme par un nombre λ ∈\. On obtient un polynôme dont tous les coefficients sont multipliés par λ : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 0 2 1 P P n n n n x x x x a a x x x a a a a a a λ λ λ λ λ = + + + + ⇒ × = + + + + … … x Le polynôme P λ × est également un polynôme de degré n. Il est petit à petit apparu que de tels ensembles (l’ensemble des vecteurs, l’ensemble des polynômes de degré n, et bien d’autres encore), pourtant très différents les uns des autres, se ressemblent en fait au travers de l’existence de deux opérations : l’addition (+) et le produit par un nombre réel (×). Pour permettre de ne pas répéter à chaque fois les caractéristiques et propriétés de ces ensembles, les mathématiciens ont défini un « modèle » qui ne vérifie qu’un nombre minimum de propriétés (des axiomes), mais juste assez pour éviter des cas pathologiques. Ce modèle, encore appelé Espace Vectoriel, a donc des propriétés partagées Chapitre 1 : Espaces vectoriels - page 3/16 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (03/02/03) ...................................................................................................................................................................................................... par de nombreux ensembles, comme celui des vecteurs, celui des polynômes de degré n, et bien d’autres encore que nous rencontrerons dans ce cours. Historiquement, c'est à Peano que revient le mérite d’avoir défini de façon axiomatique le concept d'espace vectoriel sur un corps de scalaires. Le terme scalaires (du latin scalaris = escalier, échelle) est utilisé au sens de numérique. 1 Espaces vectoriels Définition On appelle espace vectoriel un ensemble E d’éléments, appelés vecteurs, sur lesquels on peut définir deux lois de composition. (a) Une loi de composition interne : l’addition notée + qui vérifie : a1. , , x y z E ∀ ∈ G G H : ( ) ( ) x y z x y z + + = + + G G G G G G (associativité) a2. , x y E ∀ ∈ G G : x y y + = + G G G x G (commutativité) a3. tel que 0 E ∃∈ G x E G ∀∈ , 0 x x + = G G G 0 G : est élément neutre de E. a4. x E ∀∈ G , x E ′ ∃∈ G tel que 0 x x′ + = G G G : x′ G est l’élément opposé de x G . (b) Une loi de composition externe : la multiplication par un scalaire, notée ×, qui vérifie : b1. , λ µ ∀ ∈\ , x E ∀∈ G : ( ) ( ) x x λ µ λ µ × × = × × G G b2. , λ µ ∀ ∈\ , x E ∀∈ G : ( ) x x x λ µ λ µ + × = × + × G G G b3. λ ∀∈\ , , x y E ∀ ∈ G G : ( ) x y x λ λ × + = × + × G G G y λ G b4. x E ∀∈ G : 1 x x × = G G Remarques 1. Le dernier axiome (b4) peut paraître inutile. Cependant, si on considère l’ensemble E des couples ( , ) x y ( tels que muni de la loi de composition externe , x y ∈\ ( ) , ) ,0 x y x λ × = λ × , on en comprend immédiatement l’utilité. Chapitre 1 : Espaces vectoriels - page 4/16 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (03/02/03) ...................................................................................................................................................................................................... 2. Par soucis de clarté, le symbole × de la loi de composition externe sera désormais omis. Ainsi, l’élément x λ × G sera désormais désigné par x λ G . Exemples 1. L’ensemble des vecteurs du plan est un espace vectoriel. 2. et sont des espaces vectoriels. 2 \ 3 \ Voir. 3. L’ensemble noté C des fonctions définies de dans \ , continues et dérivables d’ordre n est un espace vectoriel. ( , n \ \) \ Justifier(1). 4. L’ensemble [ ] n X P des polynômes de degré inférieur ou égal à n additionné du polynôme nul est un espace vectoriel. Justifier(2). Proposition Pour tout λ ∈\ et pour tout x E ∈ G , on a : (i) 0 λ et 0 = G G 0 0 x = G G (ii) { } 0 0 ou 0 x x = ⇒ = = G G G G λ λ (iii) ( ) ( ) ( ) x x x λ λ − = − = − G G λ G : on peut donc écrire x λ −G . Le point sur… Nous avons parlé en introduction des vecteurs du plan. Nous venons de voir que ( ) { } 2 , et x y x y = ∈ ∈ \ \ \ est un espace vectoriel. Nous allons maintenant établir le lien que l’on peut faire entre les vecteurs du plan et les éléments de . 2 \ Si on munit le plan d’un repère (on parle alors de plan affine), alors chaque point du plan est repéré par des coordonnées. Si on appelle O l’origine du repère, alors pour tout vecteur u du plan, il existe un unique point M de coordonnées ( ) tel que G 2 , x y ∈\ u OM = JJJJ G G . Ainsi, la notation u x qui sera largement utilisée dans la suite de ce cours, signifie que x et y sont les coordonnées de l’extrémité du vecteur dans le plan affine. On appelle x l’abscisse et y l’ordonnée. ( , y = G ) u uploads/Ingenierie_Lourd/ espac.pdf