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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL Dans c

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL Dans ce chapitre, K est l’un des corps R ou C et I est un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés sont en réalité vrais pour un corps K quelconque. La structure d’espace vectoriel est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après les groupes et les anneaux. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes et les anneaux, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en ﬁn de spé. La théorie mathématique des espaces vectoriels s’appelle l’algèbre linéaire. Bienvenue, c’est parti ! 1 ESPACES VECTORIELS ET COMBINAISONS LINÉAIRES 1.1 ESPACES VECTORIELS Déﬁnition (Espace vectoriel) On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet (E,+,·) vériﬁant les propriétés suivantes : — (E,+) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0E ou 0 et appelé le vecteur nul de E, — · est une application de K × E dans E : à partir d’un élément λ de K et d’un élément x de E, · fournit un élément de E noté λ · x ou plus simplement λx. Par déﬁnition, cette application · doit satisfaire les propriétés suivantes : −→pour tout x ∈E : 1 · x = x, −→pour tous x, y ∈E et λ ∈K : λ · (x + y) = (λ · x) + (λ · y), −→pour tous x ∈E et λ,µ ∈K : (λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x), −→pour tous x ∈E et λ,µ ∈K : λ · (µ · x) = (λµ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualiﬁée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la loi · multiplication par un scalaire. Le corps K est qualiﬁé de corps de base pour E. Explication • Les mathématiciens ont introduit la structure d’espace vectoriel, monstrueuse au premier abord, parce qu’ils ont remarqué que CETTE STRUCTURE EST PRÉSENTE PARTOUT EN MATHÉMATIQUES comme nous allons le voir dans un instant. Dans ces conditions, une théorie s’imposait. • Pourquoi ce nom d’« espace vectoriel » ? Pourquoi parler de vecteurs en un sens aussi abstrait ? Réponse : les règles de la déﬁnition précédente sont exactement les règles classiques auxquelles les vecteurs du plan et de l’espace nous ont habitués. Le choix du mot « vecteur » va nous permettre de visualiser géométriquement une multitude d’objets — matrices, fonctions, suites, polynômes... — qui ne sont pas des vecteurs au sens où nous avons employé ce mot jusqu’ici, mais qui ont exactement les mêmes règles d’usage. Il est très important de se représenter les espaces vecto- riels, même les plus abstraits, comme des « mondes géométriques » semblables au plan ou à l’espace. La pertinence d’une telle représentation sera plus claire quand nous aurons un peu avancé dans la théorie. Généralement, en algèbre linéaire, on ne met pas de ﬂèches sur les vecteurs. On continue cependant d’en mettre quand on fait de la géométrie classique dans le plan et dans l’espace. − → u − → v − → w − → u + − → v b − → u + − → v + − → w − → u + − → v + − → w = − → u + − → v + − → w − → u − → v − → w − → v + − → w b − → u + − → v + − → w 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI b − → u − → v 2− → u 2− → v b 2− → u + 2− → v 2− → u + 2− → v = 2 − → u + − → v − → u − → v 2 − → u + − → v b − → u + − → v Théorème (Règles de calcul dans un espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel. (i) Pour tous x ∈E et λ ∈K : λ · x = 0E ⇐⇒ λ = 0 ou x = 0E. (ii) Pour tout x ∈E : −x = (−1) · x, où −x est l’opposé de x dans E et −1 l’opposé de 1 dans K. Démonstration (i) Trois étapes. Soient x ∈E et λ ∈K. • Comme : 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x, alors après simpliﬁcation dans le groupe (E,+) : 0 · x = 0E. • Comme : λ · 0E = λ · (0E + 0E) = λ · 0E + λ · 0E, alors après simpliﬁcation : λ · 0E = 0E. • Si : λ · x = 0E et si λ ̸= 0, alors : x = 1 · x = 1 λ × λ · x = 1 λ · (λ · x) = 1 λ · 0E = 0E. (ii) Pour tout x ∈E : x +(−1)· x = 1· x +(−1)· x = (1−1)· x = 0· x = 0E, donc : −x = (−1)· x. ■ Exemple (K,+,×) est un K-espace vectoriel. En effet Cela résulte directement de la déﬁnition des corps. Il sufﬁt de considérer la multiplication × sur K comme une loi de composition EXTERNE. On obtient alors toutes les propriétés voulues sans aucun travail. Théorème (Espace vectoriel produit) Soient E1,..., En des K-espaces vectoriels. On munit E1 × ... × En de deux lois + et · en posant, pour tous λ ∈K et (x1,..., xn),(y1,..., yn) ∈E1 × ... × En : (x1,..., xn) + (y1,..., yn) = x1 + y1,..., xn + yn et λ · (x1,..., xn) = λ · x1,...,λ · xn . Alors E1 × ... × En,+,· est un K-espace vectoriel. Ici : 0E1×...×En = (0E1,...,0En). Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la déﬁnition. • Nous savons déjà que (E1 × ... × En,+) est un groupe commutatif en tant que groupe produit. • Pour tout (x1,..., xn) ∈E1 × ... × En : 1 · (x1,..., xn) = 1 · x1,...,1 · xn = (x1,..., xn). • Pour tous λ ∈K et (x1,..., xn),(y1,..., yn) ∈E1 × ... × En : λ · (x1,..., xn) + (y1,... , yn) = λ · (x1 + y1,..., xn + yn) = λ · (x1 + y1),... ,λ · (xn + yn) = λ · x1 + λ · y1,...,λ · xn + λ · xn = (λ · x1,... ,λ · xn) + (λ · y1,...,λ · yn) = λ · (x1,..., xn) + λ · (y1,... , yn). ■ Exemple (Familles de scalaires) En particulier, Kn = n fois z }| { K × ... × K est un K-espace vectoriel pour tout n ∈N∗. Nous retrouvons ici le cadre des vecteurs du plan avec R2 et celui des vecteurs de l’espace avec R3. Par exemple : (1,4,−3) + 2 · (0,2,5) = (1,8,7). Exemple (Matrices) Pour tous n, p ∈N∗, Mn,p(K) est un K-espace vectoriel pour ses lois usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire. Par exemple, pour n = 2 et p = 3 : 3 · 1 0 2 0 3 −1 + 2 · 1 1 3 4 2 5 = 5 2 12 8 13 7 . En effet Nous savons déjà que Mn,p(K),+ est un groupe commutatif. Les autres axiomes se vériﬁent aisément. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple (Polynômes) K[X] est un K-espace vectoriel pour ses lois usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire. En effet Nous savons déjà que K[X],+ est un groupe commutatif. Les autres axiomes se vériﬁent aisément. Théorème (Espaces vectoriels de fonctions) Soient X un ensemble non vide et E un K-espace vectoriel. On munit l’ensemble EX des fonctions de X dans E de deux lois + et · de la façon suivante ; pour tous f, g ∈EX et λ ∈K, les fonctions f + g et λ · f sont déﬁnies par : ∀x ∈X, (f + g)(x) = f (x) + g(x) et (λ · f )(x) = λ · f (x) . Alors EX,+,· est un K-espace vectoriel. Ici, 0EX est la fonction nulle x 7−→0E de X dans E. Démonstration Montrons seulement quelques-uns des axiomes de la déﬁnition. • Montrons que + est associative. Pour tous f, g,h ∈EX : (f + g) + h = f + (g + h) car pour tout x uploads/Ingenierie_Lourd/ espaces-vectoriels.pdf