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www.bac.org.tn 1/4 Le sujet comporte 4 pages. La page annexe 4/4 est à rendre avec la copie. Exercice 1 ( 5points) Le plan est orienté dans le sens direct. Dans l’annexe ci-jointe ( Figure 1) , IAB est un triangle isocèle en A , O est le milieu de [BI] ,  OA 2OI et         OI OA 2 2 ( , ) . Soit h l’homothétie de centre I et de rapport 2 et s la similitude directe de centre O, de rapport 2 et d’angle 2 . 1) Déterminer h(O) et s(I). 2) Pour tout point M du plan, on note P son image par h et Q son image par s. Soit f l’application qui à un point M du plan associe le point M’ barycentre des points pondérés (P, 3) et (Q, 1). a) Soit   O f O ' . Montrer que      3 OO OB 4 ' et construire le point O’. b) Soit   I f I ' . Montrer que      1 II IA 4 ' et construire le point I’. 3) Dans cette question, on munit le plan du repère orthonormé direct   O,OI,OJ ,    où J est le milieu de [OA] et on note z l’affixe d’un point M du plan. a) Exprimer en fonction de z l’affixe zP du point P. b) Exprimer en fonction de z l’affixe zQ du point Q. c) Soit z’ l’affixe du point   M f M ' . Montrer que 3 i 3 z' z 2 4    . d) Déterminer l’image par f du cercle de diamètre [OI]. REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION  EXAMEN DU BACCALAUREAT SESSION DE JUIN 2014 Epreuve : MATHEMATIQUES Durée : 4 H Coefficient : 4 Section : Mathématiques Session de contrôle www.bac.org.tn 2/4 Exercice 2 (5points) Le plan est muni d’un repère orthonormé  O i j , ,  . 1) a) Soit (E) l’ellipse d’équation   2 2 1. 4 x y Déterminer les cordonnées des foyers de l’ellipse (E) et donner son excentricité. b) Soit (P) la parabole d’équation   2 2 4. y x Déterminer les coordonnées du foyer F de la parabole (P) et donner une équation de sa directrice. 2) Dans l’annexe ci-jointe (Figure 2), on a tracé dans un repère orthonormé   O i j , ,  l’ellipse (E) et la parabole (P) . Soit (  ) la courbe d’équation   2 2 4. y x a) Vérifier que ( O, j )  est un axe de symétrie de ( ). b) Tracer ( ) dans le repère   O,i, j .  3) a) Soit C le cercle d’équation   2 ² 4. x y Vérifier que pour tout réel t de [0,2], le point   2 M t, 4-t appartient à C. b) On pose    2 2 1 0 I 4 . t dt Montrer que  1 I . 4) Calculer    2 2 0 I = 2t 4 dt . 5) Soit A l’aire de la surface limitée par la courbe (  ) et l’ellipse (E). Exprimer A en fonction de I1 et I2 puis calculer A . Exercice 3 ( 4points) 1) Soit dans    l’équation ( E) : 1111 x – 104 y = 1. a) Vérifier que ( - 9, -1) est une solution de ( E) . b) Résoudre l’équation ( E) . 2) Soit n un entier . a) Montrer que s’il existe deux entiers p et q tels que n=1111p et n=1+q104 alors (p, q) est une solution de (E). www.bac.org.tn 3/4 b) Déterminer alors l’ensemble des entiers n tels que     4 n 0 1111 n 1 10 (mod ) . (mod ) c) En déduire le plus petit entier naturel multiple de 1111 et dont le reste dans la division euclidienne par 104 est égal à 1. Exercice 4 (6points) 1) Soit f la fonction définie sur   0, par lnx ( f x) x  . Déterminer f '( x)et dresser le tableau de variation de f. 2) Soit g la fonction définie sur   0, par       f x g x e si x 0 g 0 0 ( ) ( ) ( ) a) Montrer que g est continue à droite en 0. b) Montrer que g est dérivable à droite en 0. c) Dresser le tableau de variation de g. 3) Dans l’annexe ci-jointe ( Figure 3), on a représenté dans le repère ( O, i, j )  la courbe de la fonction f et la courbe de la fonction exponentielle. a) Construire le point A de coordonnées   e,g ( e) . b) Déterminer et tracer la tangente à la courbe Cg de g au point d’abscisse 1. c) Tracer la courbe Cg dans le repère ( O, i, j )  . 4) On considère la suite (un) définie sur  par 1 n u 1 u g ( n) si n 2       a) Donner la limite de (un). b) Déterminer l’entier naturel n pour lequel n n est maximal. www.bac.org.tn 4/4 0 1 1 x y 0 1 1 x y A B O I  Epreuve : Mathématiques (Section mathématiques) Annexe ( à rendre avec la copie) Figure 1 Figure 2 Figure 3 Section : ……………...……... N° d’inscription : ………………… Série : ….……... Nom et prénom : ………………………………………………….........................….. Date et lieu de naissance : …………..………………………………......………..…. Signatures des surveillants ………………. ………………. uploads/Ingenierie_Lourd/ examen-bac-mathematique-mathematique-annee-2014-controle-math-bac-org-tn.pdf