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Ammar Nabil DC1 4ème Math 2016-17 LMM Nabeul Page 1/3 Exercice 1 : (4,5 points)

Ammar Nabil DC1 4ème Math 2016-17 LMM Nabeul Page 1/3 Exercice 1 : (4,5 points) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé   O,u,v ; on donne les points A(2) et B( 1)  Soit f l’application du plan qui à tout point M(z) distinct de A associe le point M'(z') tel que z z' 2 z   1) a) Montrer que pour tout M A , On a : M' B   b) Montrer que AM BM' 2   c) En déduire l’ensemble des points M' lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 1 d) Montrer que pour tout     M A , BA,BM' AM,AB 2   e) Construire dans la figure 1 du papier annexe le point M' pour un point MC 2) On considère dans , l’équation 3 3 (E) : z (2 z)   a) Sans résoudre l’équation (E), montrer que : si z est une solution de (E) alors  z 1   b) Déterminer les racines cubiques de l’unité c) Montrer que pour tout   i , on a : z' e z 1 itan 2                d) En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme exponentielle. Exercice 2 : (3,5 points) 1) Résoudre dans , l’équation 2 2 (E) : z 4mz (6 2 3i)m 0     où m un paramètre complexe non nul. 2) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct   O,u,v . Soient M, A, B et C les points d’affixes respectives : m , a (1 3 i) m   , b (3 3 i) m   et c a b  a) Montrer que les points O, M et C sont alignés. b) Ecrire sous forme exponentielle : a b et m a . c) Expliquer comment construire le point A à partir du point M d) Montrer que le quadrilatère OACB est un rectangle e) On a placé dans la figure 2 du papier annexe le point M. Construire les points A, B et C. Exercice 3 : (8 points) 1) Soit f la fonction définie sur   0, par f(x) 2 x x    On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé   O,i, j a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 b) Montrer que C admet une branche parabolique de direction celle de la droite d’équation y x  c) Calculer f '(x) et vérifier qu’elle prend le signe de   (1 x) sur 0,   d) Dresser le tableau de variation de f e) Déterminer l’abscisse du point d’intersection de C avec   O,i autre que O puis tracer C 2) On considère la suite n (U ) définie par 0 n 1 n 1 U et U f(U ) 4    pour tout n a) Montrer que pour tout n 1 n , U 1 4    b) Montrer que n (U ) est croissante et en déduire qu’elle est convergente vers un réel qu’on précisera Lycée Mahmoud Messaadi NABEUL A S 2016-17 Prof : Ammar Nabil Devoir de Contrôle N°1 9-11-2016 Classe : 4ème Math 1 MATHEMATIQUES Durée : 2 h Ammar Nabil DC1 4ème Math 2016-17 LMM Nabeul Page 2/3 c) Vérifier que pour tout n 1 n n 2 n , U 1 1 (U 1) U 1               et en déduire que n 1 n 1 U 1 U 1 3    d) Montrer que pour tout n n 1 n , U 1 3         3) Soient pour tout n 1 n 1 n k n k k 0 k 0 1 1 n , V U et W U n n           a) Montrer que pour tout n 3 n , V 1 2n     . En déduire n nlim V  b) Montrer que n nlim W 1   Exercice 4 : (4 points) I. Dans le graphique ci-contre, on a tracé dans un repère orthonormé   O,i, j , la courbe C représentative d’une fonction f définie et continue sur  \ 1  . Les droites , ' et "  sont des asymptotes à C . C est strictement au dessous de "  sur   , 1  Choisir la bonne réponse pour chaque question Aucune justification exigée 1)   x lim f(x) x    a) 2  b)  c)  2)     f f , 2   a)   0, b)   1, c)   0, 3)   x 1 f f(x) lim f(x)    a) 2 b) 0 c)  4)   x 1 lim 1 f(x) sin 1 f(x)                 a) 1 b) 0 c)  5) L’équation f f (x) 0  admet dans   2, 1  a) aucune solution b) une seule solution c) au moins deux solutions II. Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct   O,u,v . Soit 0, 2         1) Le point M d’affixe 2 z 1 itan  varie sur droite. 2) Un argument de i i2 i3 Z 1 e e e       est 3 2 .  '  "  Ammar Nabil DC1 4ème Math 2016-17 LMM Nabeul Page 3/3 Figure 1 Figure 2 Nom et prénom : ………………………………………………………………………………………….. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-math-2016-2017-mr-ammar-nabil.pdf