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ZORKANI Mohammed Département d’HYDRAULIQUE Ecole Hassania des Travaux Publics T

ZORKANI Mohammed Département d’HYDRAULIQUE Ecole Hassania des Travaux Publics Travaux Dirigés de Mécanique Des Fluides MDF ± Théorème de Quantité de Mouvement 1 Calcule des efforts exercés sur un coude Exercice 03 : Soit un tube de section circulaire de diamètre 0,20 m, coudé à un angle droit et posé sur un plan horizontal. Il contient de l’eau à la pression moyenne Po de 6 bars. • 1°) Quelle est, en projection horizontale, la résultante des forces s’exerçant sur le coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ? • 2°) Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement n’est plus négligeable et correspond à un débit de 0,16 m3/s ? • 3°) Calculer la résultante des forces s’exerçant sur le coude ? Solution : INVENTAIRE des FORCES On a vu que le 1ier théorème global d’Euler en régime permanent s’écrit: ( ) ∫∫ ∫∫ • τ + − ∫∫∫ τ ρ = ∫∫ • ρ = ∑ ⇒ SC SC VC SC ext dS n dS n p d f dS n v v F r r r r r r r D B A D C 2 1 F F r r + 2 S 2 F r 2 x r D B A D C Centre de courbure 1 x r 1 F r 1 F r 2 F r 1 S R r Force de pression Force de pression Action de BC et de AD sur le fluide (Contacte) ZORKANI Mohammed Département d’HYDRAULIQUE Ecole Hassania des Travaux Publics Travaux Dirigés de Mécanique Des Fluides MDF ± Théorème de Quantité de Mouvement 2 Ainsi d’après cet inventaire des forces s’exerçants par l’extérieur sur le fluide on peut écrire : P R F F F 2 1 ext r r r r r + + + = ∑ où = P r le poids du fluide contenue dans le volume de contrôle ABCD. On sait que : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛π = = 4 D P F F 2 o 2 1 car 4 D S S 2 2 1 π = = 1°) 0 v r r ≈ : on a équilibre (pas de mouvement) → 0 Fext r r = ∑ ⇒ 0 P R F F 2 1 r r r r r = + + + Projetons sur l’horizontale (plan sur lequel est posé le coude) : ( ) R x x 4 D P F F 2 1 2 o 2 1 r r r r r − = − π = + Ainsi sur le coude s’exerce par le fluide une force centrifuge portée par la diagonale dont le module est : 2 4 D P 2 F F 2 F F R 2 o 1 2 1 2 2 2 1 ⋅ π ⋅ = = = + = Application numérique : ( ) N 26657 2 4 2 , 0 14 , 3 10 6 R 2 5 ≈ × × × ⋅ = 2°) maintenant on suppose qu’il y écoulement 0 v r r ≠ : Dans ce cas on a un flux entrant et sortant de quantité de mouvement, calculons les : ( ) ∫∫ρ + ∫∫ρ − = ∫∫ • ρ 2 1 S 2 2 2 2 2 S 1 1 1 1 1 SC dS v x v dS v x v dS n v v r r r r r si vitesse uniforme (cas d’écoulement turbulent) alors : v 2 2 2 S 2 2 2 2 2 S 2 2 2 2 2 v 1 1 1 S 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 Q x v dS v x v dS v x v Q x v dS v x v dS v x v 2 2 1 1 r r r r r r ρ = ∫∫ ρ = ∫∫ρ ρ = ∫∫ ρ = ∫∫ρ ainsi ( ) v 2 2 2 v 1 1 1 SC Q x v Q x v dS n v v r r r r r ρ + ρ − = ∫∫ • ρ mais 2 1 S S = ⇒ v v v 2 1 = = car conservation du débit ( v S Qv ⋅ = ). Incompressible : ρ = ρ = ρ 2 1 Alors ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 v SC x x S v x x Q v dS n v v r r r r r r r − ρ = − ρ = ∫∫ • ρ ZORKANI Mohammed Département d’HYDRAULIQUE Ecole Hassania des Travaux Publics Travaux Dirigés de Mécanique Des Fluides MDF ± Théorème de Quantité de Mouvement 3 ainsi en projection sur horizontale on obtient : ( ) 1 2 2 2 1 x x S v R F F r r r r r − ρ = + + 3°) De [ ( ) 1 2 2 2 1 x x S v R F F r r r r r − ρ = + + ] résulte que : 2 4 D P 2 F F 2 F F 2 S v R 2 o 1 2 1 2 2 2 1 2 ⋅ π ⋅ = = = + = ρ − ⇒ 2 S v 2 4 D P R 2 2 o ρ + π = En effet posons : 1 y 2 x x R x R R r r r + = : ( ) 1 2 2 2 1 x x S v R F F r r r r r − ρ = + + ⇒ ( ) 1 2 2 1 y 2 x 2 1 x x S v x R x R F F r r r r r r − ρ = + + + ⇒ ( ) ( ) 1 2 y 2 2 x 2 o 1 o x S v R x S v R x F x F r r r r ρ + + ρ − = + − ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ρ + = ρ − o 2 y o 2 x F S v R F S v R ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ρ − − = ρ + = S v F R S v F R 2 o y 2 o x où 4 D P F 2 o o π ⋅ ≡ ( ) ( ) ( ) 2 2 o 2 2 o 2 2 o 2 y 2 x 2 S v F 2 S v F S v F R R R ρ + = ρ + + ρ + = + = ⇒ ( ) 2 S v F R 2 o ρ + = cqfd comme : S Q v v = ⇒ 2 2 v 2 v 2 D Q 4 S Q S v π ρ = ρ = ρ ainsi 2 D Q 4 2 4 D P R 2 2 v 2 o π ρ + π = Application numérique : ( ) ( ) N 27809 1152 26657 2 2 , 0 14 , 3 10 160 10 4 26657 R 2 2 3 3 = + = × ⋅ × × + = − uploads/Ingenierie_Lourd/ exercice-03.pdf