Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Rappel et complé

1 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Rappel et compléments : Définition : Soient (A, B) et (C, D) deux bipoints du plan tels que les segments [AD] et [BC] ont …………………….., alors ces bipoints représentent un même objet mathématique appelé vecteur et noté AB uur ou CD uur . On écrit AB uur = CD uur . Les bipoints (A, A) et (B, B) représentent un même vecteur appelé ……………………. et noté ………... Egalité vectorielle : Soient A, B, C et D quatre points du plan. • ( ) AB CD = uur uur , si et seulement si, ( ) , sens de = sens de et AB = CD dir AB dirCD AB CD = uur uur uur uur Citer les vecteurs égaux sur la figure ci-dessous : …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… CH1 –Géométrie : Calcul vectoriel 2ème Sciences Septembre 2009 A. LAATAOUI 2 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com • ( ) AB CD = uur uur équivaut à .... A uuu r = .....D uuuu r (permutation des lettres médianes). • Si de plus A, B et C ne sont pas alignés alors ( ) AB CD = uur uur équivaut à ABDC est ………………… • ( ) AB BC = uur uur équivaut à ……………………………………………………………………………… • ( ) AB AC = uur uuu r équivaut à ……………………………………………………………………………… • Etant donnés un vecteur u r et un point O, il existe un unique point M tel que OM u = uuuu r r Addition des vecteurs : • Soit A un point du plan et soient u r et v r deux vecteurs de représentants respectifs AB uur et AC uuu r . On appelle vecteur somme de u r et v r , le vecteur w AD = r uuu r où D est le point tels que [BC] et [AD] aient même milieu. On note w u v = + r r r Construire w u v = + r r r sur la figure ci – contre : • Pour tous points A, B et C du plan, on a : ....... AB BD + = uur uur , c’est la relation de …………………… • Pour tous vecteurs u r , v r et w r , on a : ............ u v + = r r ; ( ) ..................... u v w + + = r r r ; 0 ............ u + = r r ; 0 u v + = r r r équivaut à ........ v = r appelé ………………… et on a : AB − uur = …….. 3 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Exercice : Soient M, N, P et Q quatre points du plan. Etablir chacune des égalités suivantes : MP NQ MQ NP + = + uuur uuur uuuu r uuu r ; MP NQ MN PQ − = − uuur uuu r uuuu r uuu r ; 0 MN QP NP MQ − + − = uuuu r uuu r uuu r uuuu r r . Multiplication d’un vecteur par un réel : • Soient un vecteur non nul → u , deux points A et B du plan tels que → → = u AB et un réel α . On désigne par M le point de la droite (AB) d’abscisse α dans le repère (A , B). Le produit du vecteur → u par le réel α est le vecteur → → = AM v . On note → → = v u . α ou → → = AM AB . α . Si → → = 0 u alors pour tout réel α , → → = 0 0 . α . Lorsque α = 0 on a M = A et → → = 0 u . 0 . • Soit (A, B) un bipoint tel que A B ≠ . Construire C tel que AC AB α = ⋅ uuu r uuu r lorsque 4 α = ; 3 4 α = ; 2 α = − et 3 4 α = − . • Pour tous réels a et b et vecteurs v et u → → on a : ( ) ( ) . u ...................... ; u ............... ; u v .......................... ; 1 . u ........ ; -1 .......... u α β α β α → → → → → + = = + = = ⋅ =             r • ( ) Deux vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à il existe un réel tel que u v ou v u α α α → →   = =     r uuur r uuu r Exercice : 1. Simplifier les relations vectorielles suivantes : ( ) ( ) 2 3 4 2 9 w u v u v u = + + − − u r r r r r r ; ( ) ( ) 1 1 3 1 3 5 5 3 6 2 2 4 3 w u v u v u v   = − + − − −     u r r r r r r r . 2. Soit ABCD un parallélogramme de centre O. a) Marquer les points E et F tels que 1 3 AE AB = uuu r uuu r et 1 3 CF CD = uuu r uuu r . b) Quelle est la nature du quadrilatère AECF ? c) Montrer que 2 EF EO = uuu r uuu r . 4 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Vecteurs et configurations géométriques : Milieu : I est le milieu du segment [AB] équivaut à IA IB ....... → → + = ou AI ....... → = ou .......... AB = uur Exercices 3 et 7 page 90. Parallélisme : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, si et seulement si, AB uur et CD uur sont ……………...... Exercice 6 page 90. Alignement : Trois points A, B et C sont alignés, si et seulement si, AB uur et AC uuu r sont ……………...... Exercices 4 et 5 page 90. Centre de gravité : Soit ABC un triangle et G un point du plan. Une condition nécessaire et suffisante pour que G soit le centre de gravité du triangle ABC est : GA GB GC ........ → → → + + = . Exercice : On considère un triangle ABC et M un point du plan tel que : 4 3 3 0 MA MB MC − − = uuu r uuur uuuu r r . a) Montrer que ( ) 3 2 AM AB AC = + uuuu r uuu r uuu r . b) Soit I le milieu de [BC], montrer que AM uuuu r et AI uur sont colinéaires. c) On désigne par G le point du plan tel que GI MG = uur uuuu r et par B’ l’image de B par la symétrie de centre M. Montrer que ' 0 GA GB GB + + = uuu r uuu r uuuu r r . Que peut – on conclure ? Exercice 14 page 91. Activité 43 page 81 Enoncé de THALES : Soit ABC un triangle, M est un point de (AB) distinct de A. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. Si AM xAB = uuu r uur alors AN xAC = uuu r uuu r et MN xBC = uuu r uur . Activité 44 page 81 5 Calcul vectoriel. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Bases de l’ensemble des vecteurs du plan : Définition : On appelle base de l’ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non colinéaires. Exemples Citer de la figure ci contre des couples des vecteurs formant une base. ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………… Le couple ( ) , AB IJ uur ur forme t – il une base de l’ensembles des vecteurs ? Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………. Composantes d’un vecteur dans une base : Soit ( ) , i j r r une base du plan, u r un vecteur et A un point. Construire les points B, C et M tels que : AB i = uur r , AC j = uuu r r et AM u = uuu r r Soit 1 M le projeté du point M sur (AB) parallèlement à (AC) et 2 M le projeté de M sur (AC) parallèlement à (AB). Ecrire AM uuur à l’aide de 1 AM uuuu r et 2 AM uuuu r ……………………………………………………… …….. En déduire qu’il existe deux réels x et y tels que : u xi y j = + r r r . ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………. Définition Soit ( ) , i j r r une base du plan. Pour tout vecteur u r , il existe un couple unique de réels ( ) , x y tels que u xi y j = + r r r . uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-math-chap-1-geometrie-calculs-dans-ir-2eme-sciences-2009-2010-mr-abdelbasset-laataoui-pdf.pdf