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Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions I. Notions liées aux fonctions : A.

Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions I. Notions liées aux fonctions : A. Définition, vocabulaire et notations : Définition D1 : soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de . Définir une fonction f sur l’ensemble D, c’est associer, à chaque x de D, au plus un réel noté f(x). On dit que f(x) est l’image de x par f ou encore que x est un antécédent de f(x) par f. NOTATIONS : on note f : x f(x) on lit « f est la fonction définie sur D, à valeurs dans qui à tout réel x de D, associe le réel f(x) .» Exemple :  Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 pour tout réel x: Cet énoncé signifie que f : x 2x² – 3 On a ici f(2)=2 x 2² - 3 = 5 on peut donc dire que la fonction f associe le réel 5 au réel 2 ou encore que 2 a pour image 5 par f ou que 5 est l’image de 2 par f ; ou encore que 2 est un antécédent de 5 par f ou que 5 a pour antécédent 2 par f.   un réel admet au plus une image par f. (c’est-à-dire 0 ou 1 )  Un réel peut admettre 0, 1, 2, 3… antécédents voire une infinité. Ici 5 admet deux antécédents : 2 et -2. B. Ensemble de définition : Définition D2 : Soit f une fonction L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé ensemble de définition de cette fonction. NOTATION : l’ensemble de définition d’une fonction f est généralement noté Df . Exemples :  Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 : Comme on peut toujours multiplier un réel par deux puis ajouter – 3 au résultat obtenu alors tout réel admet une image par f donc l’ensemble de définition de f est .  On détermine, par le calcul, l’ensemble de définition d’une fonction en se rappelant que :  l’on ne divise pas par zéro et  l’on prend toujours la racine carrée d’un réel positif ou nul. soit g la fonction définie par g(x)= g(x) existe ssi 4-x² 0 ssi x² ssi x -2 ou x donc l’ensemble de définition de g est . soit h la fonction définie par h(x)= h(x) existe ssi x²-9 0 ssi (x et x donc l’ensemble de définition de h est .  soit i la fonction définie par i(x)= i(x) existe ssi x²-9 0 ssi (x> ou x donc l’ensemble de définition de i est . C. Courbe représentative d’une fonction : Définition D3 : Soit f une fonction d’ensemble de définition Df. Un repère étant fixé, l’ensemble des points M de coordonnées (x ;f(x)), où x est appelée courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f. On dit alors que y=f(x) est une équation cartésienne de cette courbe dans ce repère. NOTATION : On note généralement Cf la courbe représentative de f. EXEMPLE :  Soit f la fonction définie par f(x)= 3x-2 Sa courbe représentative Cf a pour équation y=3x-2 dans le repère R. Comme 2 appartient à Df et comme f(2)=4 Alors le point M de Cf d’abscisse 2 a pour ordonnée 4 Soit N le point du plan de coordonnées (-1 ;-5) Comme -1 et comme f(xN )=f(-1)=-5=yN Alors N est un point de Cf.  DIRE QUE : « Cf a pour équation y=f(x) dans le repère R. » Cela signifie 2 choses :  Tout point M de Cf a pour coordonnées (x,f(x)) avec x MAIS AUSSI que :  Tout point M du plan de coordonnées (xM ;yM) avec et yM=f(xM) appartient à Cf D. Comparaison de fonctions : 1. Egalité de deux fonctions : Définition D4 : Soient f et g deux fonctions. f et g sont deux fonctions égales si et seulement si  f et g ont même ensemble de définition D ET  pour tout réel x de D, f(x)=g(x) NOTATION : Si f et g sont deux fonctions égales, on note f=g EXEMPLES  Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=  f et g sont définies sur  Pour montrer que f=g, il faut donc  pour tout réel x, f(x)= = =g(x) donc f=g prouver que les deux conditions  ET  de D4 sont remplies.  Pour montrer que deux fonctions ne sont pas égales, il suffit donc de prouver que l’UNE de ces deux conditions n’est pas vérifiée.  Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=x-1  f(x) existe ssi x+1 ssi x donc f est définie sur - {-1} et g est définie sur donc f et g ne sont pas égales POURTANT, pour tout réel x , =  Soient f et g les fonctions définies par f(x)= et g(x)=x-1 On a f(-1)=0 et g(-1)=-2 Donc il existe un réel x (ici -1) pour lequel f(x) CONCLUSION : f et g ne sont pas égales même si elles ont même ensemble de définition. 2. Notations du type : Définition D5 : soient f et g deux fonctions et I un intervalle inclus dans leur ensemble de définition Df et Dg. La fonction f est inférieure ou égale à la fonction g sur l’intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I, on a . NOTATION : On note alors f g REMARQUE : On définirait de façon analogue f<g, f g et f>g. Définition D6 : Comparer deux fonctions f et g revient à déterminer les intervalles où f<g, ceux où f=g et ceux où f>g. EXEMPLES :  Soient f et g les deux fonctions définies par f(x)=x²-1 et g(x)=-x²+3. Montrons que f > g sur ]-4 ;-2[ : Soit x appartenant à ]-4 ;-2[ Alors x ]-4 ;-2[ donc -4 < x < -2 donc 4 < x² < 16 D’où 3 < x²-1 < 15 et -16 < -x²< -4 soit -13 < -x²+3 < -1 Donc g(x)< -1 < 3 < f(x) ou encore f(x) > g(x) On a montré que : pour tout réel x de ]-4 ;-2[, f(x) > g(x) Donc f > g sur ]-4 ;-2[  Pour comparer deux fonctions, il faut donc démontrer une inégalité. Pour cela, on peut donc :  étudier le signe de f(x)-g(x) (avec au besoin un tableau de signes) OU comparer directement f(x) et g(x) grâce aux propriétés sur les inégalités. OU comparer f(x) et g(x) à un réel A pour montrer que f(x)<A<g(x) (ou vis-versa) (on pourrait pour cela étudier les variations de f et g pour les bornées) ATTENTION : Deux fonctions ne sont pas nécessairement comparables.  Soient f et g les deux fonctions définies par f(x)= - x²-1 et g(x)=-x²+3. Montrons que f < g sur : Soit x un réel, on a f(x)- g(x) = -4 donc f(x) – g(x) <0 Donc f(x) < g(x) pour tout réel x D’où f < g.  Soient f et g les deux fonctions définies par f(x)= x²-3 et g(x)=-x²+5. Comparer f et g sur : Soit x un réel, f(x)-g(x)=2x²-8=2(x-2)(x+2) En utilisant un tableau de signes, on en déduirait que : f(x)-g(x)<0 pour -2<x<2 , f(x)-g(x)=0 en 2 et -2, f(x)-g(x)>0 sinon Donc f<g sur ]-2 ;2[ et f>g sur ]- Définition D7 :Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ayant respectivement pour courbe représentative Cf et Cg dans un repère. Etudier la position relative de Cf et Cg sur l’intervalle I revient à déterminer les intervalles où f<g et ceux où f>g (s’il en existe). La courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg sur I ssi f>g sur I La courbe Cf est en-dessous de la courbe Cg sur I ssi f<g sur I ILLUSTRATION GRAPHIQUE : Soit a un réel appartenant à l’ensemble de définition des fonctions f et g. Soit M le point de coordonnées (a ;f(a)) Soit N celui de coordonnées (a ;g(a)) Cf est au-dessus de Cg sur ]-2 ;2[ car pour tout a de ]-2 ;2[, f(a)>g(a) Cf est en-dessous de Cg sur ]- car pour tout a de ]- ,f(a)<g(a)  Etudier la position relative de deux courbes revient en fait à comparer les deux fonctions dont elles sont la représentation graphique. E. Propriétés d’une fonction : 1. Eléments de symétrie d’une courbe : a. Etude de la parité : Définition D8 : Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est Df. f est paire si et seulement si pour tout réel x de Df, on a  -x  f(- x)=f(x). f est impaire si et seulement si pour tout réel x de Df, on a  -x  f(-x)= - f(x). Etudier la parité de f revient à déterminer si elle est paire, impaire ou bien ni paire, ni impaire. EXEMPLES :  Soit f la fonction définie par f(x)=  f(x) existe ssi x²-9 ssi x ET x Donc Df=  Soit x uploads/Ingenierie_Lourd/ generalites-sur-les-fonctions-1eres.pdf