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Le professeur responsable : Bendaoud SAAD Page 1 sur 11 Solution du DS n°1 d’op

Le professeur responsable : Bendaoud SAAD Page 1 sur 11 Solution du DS n°1 d’optique géométrique. 1ere année Cycle Préparatoire intégrée. AU-2015-2016. Durée : 2 heures. Prof. : B. Saâd ***** Exercice 1 (32/8 pts). Stigmatisme et aplanétisme des miroirs plans. Une personne de hauteur AB se regarde dans un miroir placé à la distance AI, ses yeux, situés au point O, sont à la distance OA du sol. Réponses aux questions : 1. (2/8 pt) Différentier entre réflexion spéculaire et réflexion diffuse. Réflexion spéculaire : un rayon incident sur un miroir (surface polie) donne un rayon réfléchi selon la loi de la réflexion θi=θr. Réflexion diffuse : un faisceau incident sur une surface rugueuse (surface non polie) est diffusé dans toutes les directions. M′ B A h O M M I R O I R P Q I H Tête Pieds h/2 B′ P′ Q′ A′ O′ Solutionnaire Le professeur responsable : Bendaoud SAAD Page 2 sur 11 2. (8/8 pt) Tracer tous les rayons donnant les points-images A′, B′, O′, P′ et Q′ , vus par les yeux situés en O, des points-objets A, B, O, P et Q (il y’a cinq rayons, voir le tracé). 3. Calculer le grandissement de ce miroir et interpréter la valeur obtenue. On a : SA ' SA AB ' B ' A − = = γ et comme ' SA SA − = : formule de conjugaison des miroirs plans, alors le grandissement transversal est : 1 + = γ (2/8 pt): le signe plus (+) signifie que l’image est orienté dans le même sens que l’objet (1/8 pt) et, 1 = γ signifie que la taille de l’image est égale à la taille de l’objet (1/8 pt). 4. Quelle est la taille MM′ du miroir et à quelle distance du sol IM doit-on le placer pour se voir en entier ? INDICATION : on utilisera le théorème de Thalès. Théorème de Thalès dans le triangle A′OB′ : ' B ' A ' MM ' OB ' OM ' OA OM = = ⇒ ' B ' A ' OB ' OM ' MM = (1) Théorème de Thalès dans le triangle O′OB′ : ' OB ' OM ' OO OH = Or, O′ est le symétrique de O par rapport à H, donc : 2 1 ' OO OH = et donc , 2 1 ' OB ' OM = (2) D’où, en reportant dans (1) et (2) , on a : 2 1 ' B ' A ' MM = ⇒ 2 ' B ' A ' MM = Le grandissement 1 AB ' B ' A + = = γ donc h AB ' B ' A = = ⇒ 2 h ' MM = (4/8 pt) Théorème de Thalès dans le triangle A′OB′ : OA MI A ' A I ' A O ' A M ' A = = ⇒ OA A ' A I ' A IM = Or, A′ est le symétrique de A par rapport à I, donc : 2 1 ' AA I ' A = et donc, 2 OA IM = (4/8 pt). 5. Les deux rayons vus par les yeux au point A sont tracés sur la même graphique. Par conséquent, les yeux au point O voient les yeux au point A et vice versa (4/8 pt). Stigmatisme des miroirs plans : Si on voit la même image à la même place dans un miroir plan quel que soit l’angle d’incidence alors cette image est rigoureusement stigmatique. Le point image B′, par exemple, vus sous deux (02) angles d’incidence très différents (tantôt du point O et tantôt du point A) est rigoureusement stigmatique. (4/8 pt) De même pour tous les autres points. 6. (2/8 pt) Expliquez, sur cet exemple, la propriété d’aplanétisme des miroirs plans. La formule de conjugaison des miroirs plans ' SA SA − = est vérifiée pour toute paire de point objet réel et son point image virtuel, puisque les points A ; B ; O ; P et Q de l’objet sont situés sur le même plan objet, alors les points A′, B′, O′, P′ et Q′ de l’image virtuelle sont situés dans le même plan image et donc, le miroir plan est un élément optique aplanétique. Le professeur responsable : Bendaoud SAAD Page 3 sur 11 Exercice 2 (16/8 pts). Réfraction limite. Corrigé de l’examen La loi d’Ibn Sahl dite de Snell-Descartes : r sin ' n i sin n = Dans le cas où le rayon passe du milieu le moins réfringent vers le milieu le plus réfringent et donc dans le cas 1 : n=1,00 et n′ = 1,33 de l’air vers l’eau. Dans ce cas, on a réfraction limite. L’angle de réfraction, l r , limite est réalisé lorsque l’angle d’incidence est égale à 90°. Dans la loi d’Ibn Sahl dite de Snell-Descartes : r sin 33 , 1 90 sin = ⇒ r sin 33 , 1 90 sin = Donc, l’angle de réfraction limite l r est : ° =       = − 75 , 48 33 , 1 1 sin r 1 l ou 0,85 rad Exercice 3 (32/8 pts). Lame à faces parallèles − Stigmatisme approché. Un observateur voit un point image virtuel Ai d’un point objet réel Ao à travers une lame à faces parallèles sous un angle de réfraction, i , par rapport à la normale. On note e l’épaisseur de la lame et n son indice de réfraction. L’objet, la lame et l’observateur sont situés dans l’air. Une lame à faces parallèles sur une monture optique. Réponses aux questions : 1. Calculer le déplacement apparent, i oA A en fonction de e, i et r. ( ) i oA A HJ i sin = ⇒ ( ) i sin HJ = i oA A (1) (2/8 pt) ( ) IJ HJ r i sin = − ⇒ ( ) r i sin HJ − = IJ (2) (2/8 pt) ( ) IJ e r cos = ⇒ ( ) r cos e IJ = (3) (2/8 pt) Substituons (3) dans (2) et ensuite (2) dans (1), on a : ( ) ( ) ( ) r cos i sin r i sin e A A i o − = . (2/8 pt) Et comme ( ) i sin A A HJ i o = alors, ( ) ( ) r cos r i sin e HJ − = : c’est le déplacement latéral (2/8 pt bonus) . 2. Le point-image Ai observé à travers cette lame à faces parallèles n’est pas stigmatique parce que quand l’angle d’incidence i varie, la distance ( ) i f A A i o = varie elle-aussi. (4/8 pt) Le professeur responsable : Bendaoud SAAD Page 4 sur 11 3. Il faut que ( ) i i sin = et ( ) r r sin = . L’intervalle de valeurs de l’angle d’incidence i pour lesquelles il y’aurait stigmatisme approché du point image Ai est : −1/10 rad ≤ i ≤ +1/10 rad. (4/8 pt) 4. (8/8 pt) Pour cet intervalle de valeurs c’est-à-dire pour −1/10 rad ≤ i ≤ +1/10 rad, l’approximation des petits angles est valide. Comme r ≤ i ≤ 1/10 rad et (i−r) ≤ i ≤ 1/10 rad, alors ( ) ( ) r i r i sin − = − , ( ) i i sin = et ( ) 1 r cos = . L’expression de i oA A du déplacement apparent ci-dessus se réduite à la forme suivante : i r i e A A i o − = (4/8 pt) Dans l’approximation des petits angles, la loi ( ) ( ) r sin n i sin = de d’Ibn Sahl de Snell- Descartes devient : nr i = : c’est la loi de Kepler ⇒ n i r = . Donc, on obtient :      − = n 1 1 e A A i o (4/8 pt) Effectivement, on a le stigmatisme approché parce que la position du point image Ai n’est plus fonction de l’angle d’incidence i c’est-à-dire Ai ne se déplace plus. On en déduit que :      − = n 1 1 i e HJ : le déplacement latéral dépend toujours de l’angle d’incidence (2/8 pt). Ici, l’angle d’incidence i est en rad. 5. La valeur du déplacement apparent i oA A pour e =3 mm, n=1,5 et i=π/5=0,628 rad ( ) ( ) ( ) r cos i sin r i sin e A A i o − = et avec ( ) ( ) r nsin i in = s ⇒ ( ) rad n i sin arcsin r 1 40265 , 0 =       = − ou 23° A.N. : mm 1,24 A A i o = . (4/8 pt) Remarque : pour un autre angle d’incidence 1/10 rad ≤ i, on aurait une autre valeur. La valeur uploads/Ingenierie_Lourd/ cpog16ds1s.pdf