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Devoir de contrôle N°1 4 M3 (22 /10/2010) LYCEE ABOULOUBABA GABES DEVOIR DE CON

Devoir de contrôle N°1 4 M3 (22 /10/2010) LYCEE ABOULOUBABA GABES DEVOIR DE CONTROLE Prof : S-SOLA Vendredi 22-10-2010 N° :1 SECTION : 4 M3 EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE : 2h COEFFICIENT : 4 NB : +Le sujet comporte 2 pages. + L’usage de correcteur est interdit. + La présentation est appréciée. EXERCICE N°1 :( 5 pts) A) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. L’élève indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. 1) Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct( ) O, u , V , on considère les points A et B d’affixes respectives 1 et i. L’ensemble des points M d’affixe z tel que 1   z i z est un réel est : a. la droite ) (AB privée de A b. le segment  AB privé de A c. le cercle de diamètre  AB privé de A 2) Soit z un nombre complexe de module 3 Alors le conjugué de z est : a. z 3 b. z 3 c. z 9 3) Soit z un nombre complexe ; |z +i| est égal à : a. |z|+1 b. 1 2  z c. | iz-1| 4) Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de z i 3 1  est : a.   3 b.   3 2 c.   3 2 5) Soit  le point d’affixe 1−i. L’ensemble des points M d’affixe z = x +iy vérifiant |z −1+i| = |3−4i| a pour équation : a. y = −x +1 b. (x −1)2 + y2 = 5 c. z = 1−i+5eiθ avec θ réel B) Pour chaque question, répondre par Vrai ou Faux. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée 1) Si     ) ( lim x f x et si pour tout x≤1 on a x x x g    2 4 ) ( alors     ) ( lim x f g x  2) Soit f une fonction paire définit sur IR telle que l x f x    ) ( lim , l IR , alors l x f x      ) ( lim 3) Soit f, g et h trois fonctions définies sur IR telles que pour tout réel x , g(x) ≤f(x) ≤ h(x). Si 2 ) ( lim     x g x et 4 ) ( lim    x h x alors f admet une limite en +∞ 4) Si f est une fonction définit sur IR et dont la courbe représentative admet dans un repère du plan pour asymptote au voisinage de +∞ la droite d’équation y = 3x + 5 alors     ) ( lim x f x 5) Soit (un) une suite réelle Si (un 2) est convergente alors (un) est convergente. Devoir de contrôle N°1 4 M3 (22 /10/2010) Exercice N°3 : (4 points) Soit la fonction f définie par                   0 1 0 cos 1 2 x si x x x x f x si x x x x f  1) Calculer ) ( lim x f x   2) Montrer que : pour tout   0 ,    x on a :  1 2    x f x x et en déduire ) ( lim x f x   3) Montrer que f est continue sur IR. 4)a/ Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au mois une solution dans       0 , 2 1 b/ En déduire que          2 sin EXERCICE N°3 (6 pts) 1) a) Calculer (1-2 i)2 b) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z2 –z + 3 + i = 0. c) Mettre les solutions sous forme exponentielle. 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ) , , ( v u o , on donne les points A ,B et M d’affixes respectives i , 1 - i et  i e ,       2 3 , 2   a) Montrer que ) 4 2 ( ) 4 2 sin( 2         i A M e i z z en déduire la distance AM en fonction de . b) Déterminer pour le triangle OAM soit isocèle en A. 3) On désigne par B’ le symétrique de B par rapport à l’axe des abscisses et N le point du plan tel que OB’NM soit un parallélogramme a) Déterminer les affixes des points B’ et N. b) Déterminer l’ensemble des points N lorsque varie dans       2 3 , 2   . EXERCICE N°4( 5 pts) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ) , , ( v u o , on donne les points A ,B , M B et M’ d’affixes respectives 1+  i e 2 , 1 , z et z’ telle que z’= 1 2 1    z e z i . 1) Soit f l’application de P \,B- dans P qui à tout point M associe le point M’ . a) Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation ( E ) :z2-2z + 1+  i e 2 = 0. b) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation ( E ) 2) Dans cette question on suppose que = . a) Montrer que   BM u, +  ' ,BM u 0 *2π+ b) En déduire que la demie droite *BA) est une bissectrice de l’angle   ' ,BM BM . c) Montrer que z’ est un imaginaire si et seulement si |z| = 1. d) En déduire la construction du point M’image d’un point M du cercle trigonométrique de centre O uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-math-2010-2011-mr-sola-saidi.pdf