Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours d’électromagnétisme EM0-Outils mathématiques Table des matières 1 Les sys

Cours d’électromagnétisme EM0-Outils mathématiques Table des matières 1 Les systèmes de coordonnées 2 1.1 Les coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Les coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Les coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Relation entre coordonnées 4 3 L’opérateur nabla 5 3.1 L’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.1 Gradient en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.2 Gradient dans d’autres systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Références 8 1 EM0-Outils mathématiques 1. Les systèmes de coordonnées 1 Les systèmes de coordonnées En physique, selon la physionomie du problème étudié, on choisit entre trois systèmes de coordonnées : 1.1 Les coordonnées cartésiennes Les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées les plus faciles à manipuler. Un point M de l’espace est repéré par trois coordonnées : xM, yM, zM. Le repère est muni de trois vecteurs unitaires (− → ex, − → ey, − → ez) qui donnent l’orientation de celui-ci. Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémen- taire est noté : − → dl = dx − → ex + dy − → ey + dz − → ez (1) On peut aussi déﬁnir une surface élémentaire (dans le plan xOy par exemple) : dS = dx × dy (2) Enﬁn, on peut déﬁnir un volume élémentaire : dτ = dx × dy × dz (3) z x y ez ex ey M xM zM yM O Figure 1 – Coordonnées cartésiennes z x y ez ex ey M dx dx dy dy dz O Figure 2 – Volume et surface élémentaires en coordonnées cartésiennes 2 1.2 Les coordonnées cylindriques Dans ce système de coordonnées, un point M de l’espace est repéré par un rayon rM, un angle θ (angle entre l’axe Ox et la projection du rayon OM sur le plan xOy), et une hauteur z (par rapport au plan xOy). On déﬁnit aussi trois vecteurs unitaires (− → er, − → eθ, − → ez) que l’on place généralement au niveau du point M ou de son projeté sur la plan xOy. Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémen- taire s’écrit : − → dl = dr − → er + rdθ − → eθ + dz − → ez (4) Ainsi une surface élémentaire s’écrit : dS = dr × rdθ (5) Et un volume élémentaire est déﬁni par : dτ = dr × rdθ × dz (6) Figure 3 – Coordonnées cylindriques dr dθ r×dθ r eθ er Figure 4 – Surface élémentaire en coordonnées cylindriques 3 EM0-Outils mathématiques 1.2 Les coordonnées cylindriques 1.3 Les coordonnées sphériques Dans ce système de coordonnées, un point M de l’espace est repéré par un rayon r = OM, et deux angles : un angle θ (angle entre l’axe Oz et le rayon OM), un angle φ (angle entre l’axe Ox et la projection du rayon OM sur le plan xOy). Trois vecteurs unitaires (− → er, − → eθ, − → eφ) donnent l’orientation du repère. Dans ce système de coordonnées, un déplacement élémen- taire s’écrit : − → dl = dr − → er + rdθ − → eθ + r sin θdφ − → eφ (7) Une surface élémentaire s’écrit : dS = rdθ × rsinθdφ (8) Et un volume élémentaire est déﬁni par : dτ = dr × rdθ × rsinθdφ (9) z x y eφ er eθ M θM rM O φM Figure 5 – Coordonnées sphériques z x y M θ r O φ r sin θ r sin θ dφ r dθ r sin θ dφ dφ dθ Figure 6 – Surface élémentaire en coordonnées cylindriques 2 Relation entre les diﬀérents systèmes de coordonnées Il peut être intéressant de connaître les relations entre les diﬀérents systèmes de coordonnées : par exemple entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques, que vaut r en fonction de x et y ? que vaut θ ? quelles relations y a t-il entre les vecteurs unitaires de la base cartésienne, et ceux de la base cylindrique ? 4 EM0-Outils mathématiques 1.3 Les coordonnées sphériques EM0-Outils mathématiques 3. L’opérateur nabla Voici les relations à connaître et à savoir retrouver : r = q x2 + y2 (10) tan θ = y x (11) − → er = cos θ− → ex + sin θ− → ey (12) − → eθ = −sin θ− → ex + cos θ− → ey (13) On peut aussi avoir besoin des relations dans l’autre sens : expressions de x et y en fonction de r et θ, expressions de − → ex et − → ey en fonction de − → er et − → eθ. Elles sont faciles à retrouver grace aux quatre lignes écrites précédemment ou aux ﬁgures ci-contre : x = r cos θ (14) y = r sin θ (15) − → ex = cos θ− → er −sin θ− → eθ (16) − → ey = sin θ− → er + cos θ− → eθ (17) Dans le même esprit, on peut exprimer les coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes, et inversement. eθ er ex ey θ θ θ r x y O M Figure 7 – Relations entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques 3 L’opérateur nabla : gradient, divergence ou rotationnel 3.1 L’opérateur nabla L’opérateur nabla noté − → ∇peut agir sur un champ scalaire (comme le potentiel électrostatique) ou sur un champ de vecteurs (comme le champ électrostatique). En coordonnées cartésiennes, celui-ci s’écrit : − → ∇ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z (18) Selon comment il est appliqué au champ (scalaire ou vectoriel) en question, l’opérateur nabla prend d’autres noms : 5 EM0-Outils mathématiques 3.2 Gradient d’un champ scalaire 3.2 Gradient d’un champ scalaire 3.2.1 Gradient en coordonnées cartésiennes On peut appliquer l’opérateur nabla directement sur un champ de scalaire, on a alors : − → ∇V = − − → grad V = ∂V ∂x − → ex + ∂V ∂y − → ey + ∂V ∂z − → ez (19) en coordonnées cartésiennes. Notons que le gradient est un opérateur qui prend un champ scalaire en entrée et qui renvoie un vecteur. 3.2.2 Gradient dans d’autres systèmes de coordonnées Lien entre gradient et diﬀérentielle totale d’une fonction En mathématique, si une fonction f dépend de trois variables (x, y et z), sa diﬀérentielle totale s’écrit : d f = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz (20) On peut écrire cette diﬀérentielle comme étant le produit scalaire entre le gradient de f et le vecteur déplacement élémentaire − → dl : d f = − − → gradf · − → dl = ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂y · dx dy dz (21) Gradient en coordonnées cylindriques Grâce à la formule ci-dessus, on peut exprimer le gradient dans d’autres systèmes de coordonnées. On exprime la diﬀérentielle totale de f dans le système de coordonnées : d f = ∂f ∂r dr + ∂f ∂θ dθ + ∂f ∂z dz (22) On identiﬁe celle-ci avec la diﬀérentielle donnée par le produit scalaire calculé dans l’équation 21 : d f = (− − → gradf)r (− − → gradf)θ (− − → gradf)z · dr rdθ dz = (− − → gradf)r dr + (− − → gradf)θ r dθ + (− − uploads/Ingenierie_Lourd/ math.pdf